Dubbio fome lineari e bilineari
Salve, durante lo studio dei tensori mi sono spesso imbattuto nella seguente questione.
Dati V et W spazi vettoriali sul campo reale et V* et W* i rispettivi duali, sia s $in$ V* et t ad W*.
q sia definita
q(v,w) = s(v)t(w)
dove v et w appartengono rispettivamente ad V et W et il prodotto tra s(v) et t(w) e' dunque def tra due numeri reali senza problemi. Allora q(v,w) e' una forma bilineare def da VxW nel campo reale, fin qui semplice.
Poi pero' l'affermazione che l'insieme delle q cosi' definite non e' un sottospazio dello spazio L(V,W) ossia delle forme bilineari def da VxW nel campo reale non riesco proprio a capirla. Si dice che la somma di due di tali q, diciamo q1 et q2 non e' della stessa forma nel senso che non esiste sempre una q tale che q1+q2=q ma non riesco a dimostrarlo...
Dati V et W spazi vettoriali sul campo reale et V* et W* i rispettivi duali, sia s $in$ V* et t ad W*.
q sia definita
q(v,w) = s(v)t(w)
dove v et w appartengono rispettivamente ad V et W et il prodotto tra s(v) et t(w) e' dunque def tra due numeri reali senza problemi. Allora q(v,w) e' una forma bilineare def da VxW nel campo reale, fin qui semplice.
Poi pero' l'affermazione che l'insieme delle q cosi' definite non e' un sottospazio dello spazio L(V,W) ossia delle forme bilineari def da VxW nel campo reale non riesco proprio a capirla. Si dice che la somma di due di tali q, diciamo q1 et q2 non e' della stessa forma nel senso che non esiste sempre una q tale che q1+q2=q ma non riesco a dimostrarlo...
Risposte
Una forma bilineare $q:V\times W\rightarrow R$ e' data
da $q(v,w) =\sum_{i,j}a_{ij}v_iw_j$ per una
certa matrice $a_{ij}$. Qua $V$ e $W$ hanno rispettivamente
dimensione $n$ e $m$ e $v=(v_1,\ldots,v_n)$ e
$w=(w_1,\ldots,w_m)$.
La forma bilineare $q(v,w)$ ha la forma $s(v)t(w)$
(nella notazione di ostrogoto) se e solo se
$\sum_{i,j}a_{ij}v_iw_j$ e' prodotto di una forma lineare
in $v_i$ per una forma lineare in $w_j$.
In questo caso tutte le righe della matrice $a_{ij}$
sono proporzionali e quindi $a_{ij}$ ha rango $\le1$.
Vale anche il viceversa: se la matrice $a_{ij}$
ha rango $\le1$, allora la forma bilineare $q(v,w)$
e' prodotto di due forme lineari $s$ e $t$. Infatti, se $q$
non e' zero, la forma lineare $s$ ha i coefficienti
proporzionali ad una riga non nulla, e la forma $t$ ha
i coefficienti proporzionali ad una colonna non nulla.
Ora le matrici di rango $\le1$ non formano un sottospazio
lineare dello spazio delle matrici $(a_{ij})$ quando $n,m\ge 2$.
Per esempio
$((1,0),(0,0))+((0,0),(0,1))=((1,0),(0,1)).$
da $q(v,w) =\sum_{i,j}a_{ij}v_iw_j$ per una
certa matrice $a_{ij}$. Qua $V$ e $W$ hanno rispettivamente
dimensione $n$ e $m$ e $v=(v_1,\ldots,v_n)$ e
$w=(w_1,\ldots,w_m)$.
La forma bilineare $q(v,w)$ ha la forma $s(v)t(w)$
(nella notazione di ostrogoto) se e solo se
$\sum_{i,j}a_{ij}v_iw_j$ e' prodotto di una forma lineare
in $v_i$ per una forma lineare in $w_j$.
In questo caso tutte le righe della matrice $a_{ij}$
sono proporzionali e quindi $a_{ij}$ ha rango $\le1$.
Vale anche il viceversa: se la matrice $a_{ij}$
ha rango $\le1$, allora la forma bilineare $q(v,w)$
e' prodotto di due forme lineari $s$ e $t$. Infatti, se $q$
non e' zero, la forma lineare $s$ ha i coefficienti
proporzionali ad una riga non nulla, e la forma $t$ ha
i coefficienti proporzionali ad una colonna non nulla.
Ora le matrici di rango $\le1$ non formano un sottospazio
lineare dello spazio delle matrici $(a_{ij})$ quando $n,m\ge 2$.
Per esempio
$((1,0),(0,0))+((0,0),(0,1))=((1,0),(0,1)).$
Scusa, non capisco l'esempio perche' la somma delle due matrici torna perfettamente!!
Ma il rango della somma non e' $\le 1$.
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