Dubbio esercizio spazi vettoriali
Salve a tutti,
l'esercizio in questione è questo:
- Dato il sottospazio $V=<(1,2,3) (0,0,1) (-1,1,2) (-1,-1,3)>$ espresso per mezzo dei suoi generatori:
1) Calcolare la sua rappresentazione cartesiana
2) Calcolare due sue basi
Per calcolare una sua base occorre occorre scrivere la matrice che ha per righe i vettori generatori e verificare quali di essi siano linearmente indipendenti tramite la riduzione a scalini:
$((1,2,3),(0,0,1),(-1,1,2),(-1,-1,3))$ Notiamo che ogni altra riga può essere scritta come combinazione lineare del vettore $(0,0,1)$ e da qui deduciamo che una base di $V$ è $Bv={(1,2,3)(-1,1,2)(-1,-1,3)}$.
Tale ragionamento è corretto? Nel caso un cui non ci si fosse accorti della proporzionalità tra $(0,0,1)$ e gli altri vettori sarebbe stato corretto procedere come segue?
$((1,2,3),(0,0,1),(-1,1,2),(-1,-1,3))$ scambiamo la seconda riga con la quarta( poichè in questa forma non è riducibile a scalini) ottenendo $((1,2,3),(-1,-1,3),(-1,1,2),(0,0,1))$ che ridotta a scalini diventa $((1,2,3),(0,1,6),(0,0,-13),(0,0,0))$.
l'esercizio in questione è questo:
- Dato il sottospazio $V=<(1,2,3) (0,0,1) (-1,1,2) (-1,-1,3)>$ espresso per mezzo dei suoi generatori:
1) Calcolare la sua rappresentazione cartesiana
2) Calcolare due sue basi
Per calcolare una sua base occorre occorre scrivere la matrice che ha per righe i vettori generatori e verificare quali di essi siano linearmente indipendenti tramite la riduzione a scalini:
$((1,2,3),(0,0,1),(-1,1,2),(-1,-1,3))$ Notiamo che ogni altra riga può essere scritta come combinazione lineare del vettore $(0,0,1)$ e da qui deduciamo che una base di $V$ è $Bv={(1,2,3)(-1,1,2)(-1,-1,3)}$.
Tale ragionamento è corretto? Nel caso un cui non ci si fosse accorti della proporzionalità tra $(0,0,1)$ e gli altri vettori sarebbe stato corretto procedere come segue?
$((1,2,3),(0,0,1),(-1,1,2),(-1,-1,3))$ scambiamo la seconda riga con la quarta( poichè in questa forma non è riducibile a scalini) ottenendo $((1,2,3),(-1,-1,3),(-1,1,2),(0,0,1))$ che ridotta a scalini diventa $((1,2,3),(0,1,6),(0,0,-13),(0,0,0))$.
Risposte
La parte della riduzione a scalini va bene (infatti già calcolando il rango della matrice iniziale si vede che la dimensione di $V$ sarà $3$), ma nella prima parte fai un errore concettuale.
Tu scrivi:
Questo è falso: ciò che dici significherebbe che ogni altra riga è del tipo $\lambda(0,0,1)$ per un certo $\lambda$!
Dopo confermi l'errore parlando di proporzionalità... ma poi alla fine tiri fuori la base giusta.
Volevo solo sottolineare questo abuso di linguaggio, così magari eviti di dirlo ad un orale
.
Paola
Tu scrivi:
Notiamo che ogni altra riga può essere scritta come combinazione lineare del vettore $(0,0,1)$
Questo è falso: ciò che dici significherebbe che ogni altra riga è del tipo $\lambda(0,0,1)$ per un certo $\lambda$!
Dopo confermi l'errore parlando di proporzionalità... ma poi alla fine tiri fuori la base giusta.
Volevo solo sottolineare questo abuso di linguaggio, così magari eviti di dirlo ad un orale
.Paola
Avrei dovuto dire che gli altri tre vettori sono proporzionali a $(0,0,1)$ per tre diversi valori di $lambda$. Intendevi dire questo?
Comunque vorrei farti qualche altra domanda. Entrambe le basi trovate ( quella con la riduzione a scalini e quella notando subito la dipendenda lineare di $(0,0,1)$) vanno bene?
Comunque vorrei farti qualche altra domanda. Entrambe le basi trovate ( quella con la riduzione a scalini e quella notando subito la dipendenda lineare di $(0,0,1)$) vanno bene?
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