Dubbio. esercizio di topologia
Salve a tutti,
Ho risolto solo due dei punti del seguente esercizio (sulla soluzione non sono sicuro) invece il terzo punto del esercizio non riesco a farlo.
Mi potete dare un mano. Grazie in anticipo.
Siano dati
$I_1={(x,y) \in RR^2|x=-1, -1\leq y\leq 1}$
$I_2={(x,y)\in RR^2|x=1, -1\leq y\leq 1}$
$U_1={(x,y)\in RR^2|y=1, -1\leq x\leq 1}$
$U_2={(x,y)\in RR^2|y=-1, -1\leq x\leq 1}$
Sia $Q=I_1 \uu I_2 \uu U_1 \uu U_2$ ove si definisce la relazione di equivalenza seguente:
$\AA (x,y), (x',y') \in Q$, $(x,y)\cc(R)(x',y')$ se $(x,y)=(x',y')$ oppure $(x, y), (x', y')\in I_1 $, $(x,y),(x',y')\in I_2 $
a) Si provi che $Q/cc(R) ~~ S^1$
b) Si provi che $\pi : Q\rightarrow Q/cc(R)$ è chiusa.
c) Si provi che $\pi$ non è aperta.
Soluzione:
a) Costruisco in anzi tutto le due applicazioni
$f_1(x,y)= { ( (1;0) se (x;y)\in I_1 ),( (-1;0) se (x;y)\in I_2 ):} $ e $f_2(x,y)=(x,y/|y|sin(arccos(x)))$ dove $(x,y)\in U_1,U_2$
con i quali costruisco $f(x,y):Q\rightarrow S^1$ incollato $f_1(x,y),f_2(x,y)$. Poiché $f_1$ e $f_2$ soddisfano le condizioni della Lemma di incollamento $f$ sarà continua. In oltre essa è biettiva e la relazione di equivalenza che induce $f$ coincide con la relazione di equivalenza definita su $Q$. Quindi $Q/cc(R) ~~ S^1$.
b) $Q$ è connesso e compatto perciò anche $Q/cc(R)$ è connesso e compatto. Dobbiamo a questo punto dimostrare che $Q/cc(R)$ è $T_2$ (di Hausdorff). Cioè dimostrare che l'insieme
$F= { (x;y),(u;v): \pi(x;y)=\pi(u;v) }={ (x;y),(u;v): (x;y)cc(R)(u;v) }$ è un chiuso in $Q\times Q$.
$C_1={ (x;y),(x;y)\in Q\times Q| (x;y)\in Q}$, $C_2={ (-1;y),(-1;y)\in Q\times Q| y\in[-1;1]}$
$C_3={ (1;y),(1;y)\in Q\times Q| y\in[-1;1]}$, $C_4={ (M_1,M_4),(M_4,M_1),(M_2,M_3),(M_3,M_2)}$
dove $M_1=(-1,-1),M_2=(-1,1),M_3=(1,-1), M_4=(1,1)$ sono i vertici del quadrato.
$c_1$ è chiuso perché $Q$ è $T_2$. $C_2$, $C_3$ sono chiusi perché sono sottoinsiemi di un spazio di $T_2$ ed immagini del compatto $[-1,1]$ di $RR$ attraverso applicazioni continue. $C_4$ è chiuso perché è un insieme finito di punti in un spazio $T_2$. Poiché $F=C_1 \uu C_2 \uu C_3 \uu C_4$ allora anche $F$ sarà chiuso, questo vuol dire che $Q/cc(R)$ è $T_2$. Concludo che $\pi$ è chiuso.
c) Questo punto dell'esercizio non riesco a farlo.
Ho risolto solo due dei punti del seguente esercizio (sulla soluzione non sono sicuro) invece il terzo punto del esercizio non riesco a farlo.
Mi potete dare un mano. Grazie in anticipo.
Siano dati
$I_1={(x,y) \in RR^2|x=-1, -1\leq y\leq 1}$
$I_2={(x,y)\in RR^2|x=1, -1\leq y\leq 1}$
$U_1={(x,y)\in RR^2|y=1, -1\leq x\leq 1}$
$U_2={(x,y)\in RR^2|y=-1, -1\leq x\leq 1}$
Sia $Q=I_1 \uu I_2 \uu U_1 \uu U_2$ ove si definisce la relazione di equivalenza seguente:
$\AA (x,y), (x',y') \in Q$, $(x,y)\cc(R)(x',y')$ se $(x,y)=(x',y')$ oppure $(x, y), (x', y')\in I_1 $, $(x,y),(x',y')\in I_2 $
a) Si provi che $Q/cc(R) ~~ S^1$
b) Si provi che $\pi : Q\rightarrow Q/cc(R)$ è chiusa.
c) Si provi che $\pi$ non è aperta.
Soluzione:
a) Costruisco in anzi tutto le due applicazioni
$f_1(x,y)= { ( (1;0) se (x;y)\in I_1 ),( (-1;0) se (x;y)\in I_2 ):} $ e $f_2(x,y)=(x,y/|y|sin(arccos(x)))$ dove $(x,y)\in U_1,U_2$
con i quali costruisco $f(x,y):Q\rightarrow S^1$ incollato $f_1(x,y),f_2(x,y)$. Poiché $f_1$ e $f_2$ soddisfano le condizioni della Lemma di incollamento $f$ sarà continua. In oltre essa è biettiva e la relazione di equivalenza che induce $f$ coincide con la relazione di equivalenza definita su $Q$. Quindi $Q/cc(R) ~~ S^1$.
b) $Q$ è connesso e compatto perciò anche $Q/cc(R)$ è connesso e compatto. Dobbiamo a questo punto dimostrare che $Q/cc(R)$ è $T_2$ (di Hausdorff). Cioè dimostrare che l'insieme
$F= { (x;y),(u;v): \pi(x;y)=\pi(u;v) }={ (x;y),(u;v): (x;y)cc(R)(u;v) }$ è un chiuso in $Q\times Q$.
$C_1={ (x;y),(x;y)\in Q\times Q| (x;y)\in Q}$, $C_2={ (-1;y),(-1;y)\in Q\times Q| y\in[-1;1]}$
$C_3={ (1;y),(1;y)\in Q\times Q| y\in[-1;1]}$, $C_4={ (M_1,M_4),(M_4,M_1),(M_2,M_3),(M_3,M_2)}$
dove $M_1=(-1,-1),M_2=(-1,1),M_3=(1,-1), M_4=(1,1)$ sono i vertici del quadrato.
$c_1$ è chiuso perché $Q$ è $T_2$. $C_2$, $C_3$ sono chiusi perché sono sottoinsiemi di un spazio di $T_2$ ed immagini del compatto $[-1,1]$ di $RR$ attraverso applicazioni continue. $C_4$ è chiuso perché è un insieme finito di punti in un spazio $T_2$. Poiché $F=C_1 \uu C_2 \uu C_3 \uu C_4$ allora anche $F$ sarà chiuso, questo vuol dire che $Q/cc(R)$ è $T_2$. Concludo che $\pi$ è chiuso.
c) Questo punto dell'esercizio non riesco a farlo.
Risposte
Ciao, di nuovo
ho rivisto un po' le cose e mi sa che il punto $c)$ è abbastanza facile. Allora sapiamo che se $A$ è un aperto in $Q$ (nel nostro caso) l'applicazione si dice aperta se $\pi^{-1 }(\pi(A))$ sarà un aperto. Allora prendiamo $A=A_1 \uu A_2$ dove $A_1=(A\nn I_1)\uu(A\nn I_2)$ supponendo come caso generale che nessuno delle parti e vuota. In modo analogo $A_2=(A\nn U_1)\uu(A\nn U_2)$. A questo punto calcoliamo $\pi(A)=\pi(A_1)\uu \pi(A_2)=I_1\uu I_2\uu A_2$ e poi $\pi^{-1 }(\pi(A))=I_1\uu I_2\uu A_2$ e visto che $I_1$ e $I_2$ sono chiusi l'applicazione $\pi$ non può essere aperta. Infatti l'applicazione sarà chiusa (se $A$ è chiusa).
ho rivisto un po' le cose e mi sa che il punto $c)$ è abbastanza facile. Allora sapiamo che se $A$ è un aperto in $Q$ (nel nostro caso) l'applicazione si dice aperta se $\pi^{-1 }(\pi(A))$ sarà un aperto. Allora prendiamo $A=A_1 \uu A_2$ dove $A_1=(A\nn I_1)\uu(A\nn I_2)$ supponendo come caso generale che nessuno delle parti e vuota. In modo analogo $A_2=(A\nn U_1)\uu(A\nn U_2)$. A questo punto calcoliamo $\pi(A)=\pi(A_1)\uu \pi(A_2)=I_1\uu I_2\uu A_2$ e poi $\pi^{-1 }(\pi(A))=I_1\uu I_2\uu A_2$ e visto che $I_1$ e $I_2$ sono chiusi l'applicazione $\pi$ non può essere aperta. Infatti l'applicazione sarà chiusa (se $A$ è chiusa).
C'è un Regolamento da rispettare...non puoi fare up quando vuoi...
Sul punto (b), essendo [tex]$\frac{Q}{\mathcal{R}}\simeq S^1$[/tex] è ovviamente compatto, connesso e [tex]$T_2$[/tex]!
Si hai ragione sul punto b), quindi la soluzione che ho dato io è un altro modo per risolvere questo punto pero vorrei un confermazione della soluzione
Per favore mi potete aiutare
[mod="Fioravante Patrone"]Violazione (reiterata) del regolamento per quanto riguarda gli "up". 24 ore di stop.[/mod]
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