Dubbio esercizio base ortonormale
Salve ragazzi, vorrei porre alla vostra attenzione alcuni dubbi che mi sono sorti svolgendo un esempio di esercizio dal mio libro di geometria e algebra. Vi riporto ciò che c'è scritto e poi vi dico dove ci sono gli intoppi.
La base canonica non è una base ortonormale per il prodotto scalare definito positivo:
$\langle v,w\rangle= 2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3$ su $\R^3$
(non é neppure ortogonale in quanto $\langle e_1,e_2\rangle=1$ ). Per trovare una base ortonormale $\{ v_1,v_2,v_3\}$ per questo prodotto scalare cominciamo prendendo $e_1$. Siccome $\langle e_1,e_1\rangle=2$...
Tralascio per il momento la continuazione dell'esercizio. I miei dubbi sorgono già nel prodotto scalare $\langle e_1,e_2\rangle=1$. Essendo vettori della base canonica, e quindi $e_1=|(1,0,0)| , e_2 = |(0,1,0)|$ il prodotto scalare qui sarebbe $\1*0+0*1+0*0=0$. Come mai invece nel libro si ottiene 1?
Idem dicasi per il prodotto scalare $\langle e_1,e_1\rangle=2$ che secondo i miei calcoli sarebbe 1 e non 2.
PS: ho controllato anche con Wolfram Alpha e ottiene i miei stessi risultati.
Vi ringrazio anticipatamente per i chiarimenti.
Simone
La base canonica non è una base ortonormale per il prodotto scalare definito positivo:
$\langle v,w\rangle= 2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3$ su $\R^3$
(non é neppure ortogonale in quanto $\langle e_1,e_2\rangle=1$ ). Per trovare una base ortonormale $\{ v_1,v_2,v_3\}$ per questo prodotto scalare cominciamo prendendo $e_1$. Siccome $\langle e_1,e_1\rangle=2$...
Tralascio per il momento la continuazione dell'esercizio. I miei dubbi sorgono già nel prodotto scalare $\langle e_1,e_2\rangle=1$. Essendo vettori della base canonica, e quindi $e_1=|(1,0,0)| , e_2 = |(0,1,0)|$ il prodotto scalare qui sarebbe $\1*0+0*1+0*0=0$. Come mai invece nel libro si ottiene 1?
Idem dicasi per il prodotto scalare $\langle e_1,e_1\rangle=2$ che secondo i miei calcoli sarebbe 1 e non 2.
PS: ho controllato anche con Wolfram Alpha e ottiene i miei stessi risultati.
Vi ringrazio anticipatamente per i chiarimenti.
Simone
Risposte
Da quel che capisco stai facendo confusione tra il prodotto scalare assegnato e quello standard!
\( \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_1} \rangle = 1 \) utilizzando il prodotto scalare standard.
Ma in questo caso devi utilizzare il prodotto assegnato, ovvero: \( \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle= 2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3 \)
Quindi: \( \langle \mathbf{e_1},\mathbf{e_1}\rangle = 2(1)(1)+(1)(0)+(0)(0)+(0)(0)+3(0)(0) = 2 \)
Lo stesso dicasi per \( \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2} \rangle \)
\( \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_1} \rangle = 1 \) utilizzando il prodotto scalare standard.
Ma in questo caso devi utilizzare il prodotto assegnato, ovvero: \( \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle= 2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3 \)
Quindi: \( \langle \mathbf{e_1},\mathbf{e_1}\rangle = 2(1)(1)+(1)(0)+(0)(0)+(0)(0)+3(0)(0) = 2 \)
Lo stesso dicasi per \( \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2} \rangle \)
"Emar":
Da quel che capisco stai facendo confusione tra il prodotto scalare assegnato e quello standard!
\( \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_1} \rangle = 1 \) utilizzando il prodotto scalare standard.
Ma in questo caso devi utilizzare il prodotto assegnato, ovvero: \( \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle= 2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3 \)
Quindi: \( \langle \mathbf{e_1},\mathbf{e_1}\rangle = 2(1)(1)+(1)(0)+(0)(0)+(0)(0)+3(0)(0) = 2 \)
Lo stesso dicasi per \( \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2} \rangle \)
Ok perfetto. Ora questo è chiaro. Dopo l'esercizio continua:
Essendo $ \langle e_1,e_1\rangle = 2$ allora il vettore $v_1= e_1/sqrt2$ ha norma 1. Il secondo vettore $v_2$ dev'essere ortogonale a $v_1$, quindi se scriviamo $v_2=(x,y,z)^T $ si deve avere
$ \langle v_1, v_2 \rangle = 2/sqrt2 x+ 1/sqrt2y=0$
ricordandosi che $||v_2|| =1$ una possibile scelta è $v_2=(1/sqrt2, -2/sqrt2,0)^T$. Le coordinate del terzo vettore $v_3$ devono soddisfare il sistema
$\{(\langle v_1, v_3 \rangle= 2/sqrt2x + 1/sqrt2 y=0), (\langle v_2, v_3 \rangle= -1/sqrt2 y=0):}$
con inoltre $||v_3||=1$; una scelta possibile (l'unica a meno del segno) è $v_3=e_3/sqrt3$. Dunque una base ortonormale per questo prodotto scalare è data da:
${\|1/sqrt2 ,0,0|,|1/sqrt2,-2/sqrt2,0|, |0,0,1/sqrt3|}$
Ciò che non capisco è come fa ad ottenere $v_1= e_1/sqrt2$ e $ \langle v_1, v_2 \rangle = 2/sqrt2 x+ 1/sqrt2y=0$. Successivamente per trovare un vettore ortogonale è chiaro che il prodotto scalare tra il vettore e quello ortogonale deve essere pari a $0$.
"Mohefat":
Essendo $ \langle e_1,e_1\rangle = 2$ allora il vettore $v_1= e_1/sqrt2$ ha norma 1.
Qui si tratta di normalizzare il vettore, ovvero di renderlo di modulo unitario. Ricordando che $ \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_1} \rangle = || \mathbf{e_1} ||^2 = 2$, concludiamo che il modulo di $ \mathbf{e_1}$ sarà uguale a $\sqrt{2}$. Quindi il vettore $ \mathbf{v_1} = \frac{\mathbf{e_1}}{\sqrt(2)}$ avrà modulo unitario (provare per credere
)."Mohefat":
Il secondo vettore $v_2$ dev'essere ortogonale a $v_1$, quindi se scriviamo $v_2=(x,y,z)^T $ si deve avere
$ \langle v_1, v_2 \rangle = 2/sqrt2 x+ 1/sqrt2y=0$
Qui semplicemente facciamo il prodotto scalare (sempre quello dato prima) tra \( \mathbf{v_1} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right]^T\) e un vettore generico che chiamiamo $ \mathbf{v_2} = [x,y,z]^T$ e lo imponiamo uguale a $0$. In questo modo vediamo quali proprietà devono soddisfare le componenti di $ \mathbf{v_2}$ affinché esso sia ortogonale a $ \mathbf{v_1}$.
Ora prova a continuare, vediamo se ci sei
"Emar":
[quote="Mohefat"]
Essendo $ \langle e_1,e_1\rangle = 2$ allora il vettore $v_1= e_1/sqrt2$ ha norma 1.
Qui si tratta di normalizzare il vettore, ovvero di renderlo di modulo unitario. Ricordando che $ \langle \mathbf{e_1}, \mathbf{e_1} \rangle = || \mathbf{e_1} ||^2 = 2$, concludiamo che il modulo di $ \mathbf{e_1}$ sarà uguale a $\sqrt{2}$. Quindi il vettore $ \mathbf{v_1} = \frac{\mathbf{e_1}}{\sqrt(2)}$ avrà modulo unitario (provare per credere
)."Mohefat":
Il secondo vettore $v_2$ dev'essere ortogonale a $v_1$, quindi se scriviamo $v_2=(x,y,z)^T $ si deve avere
$ \langle v_1, v_2 \rangle = 2/sqrt2 x+ 1/sqrt2y=0$
Qui semplicemente facciamo il prodotto scalare (sempre quello dato prima) tra \( \mathbf{v_1} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right]^T\) e un vettore generico che chiamiamo $ \mathbf{v_2} = [x,y,z]^T$ e lo imponiamo uguale a $0$. In questo modo vediamo quali proprietà devono soddisfare le componenti di $ \mathbf{v_2}$ affinché esso sia ortogonale a $ \mathbf{v_1}$.
Ora prova a continuare, vediamo se ci sei
[/quote]Ok perfetto. Tutto chiaro. L'unica perplessità che mi resta è come trova le coordinate di $v_2$.
Grazie per la pazienza comunque.
"Mohefat":
Ok perfetto. Tutto chiaro. L'unica perplessità che mi resta è come trova le coordinate di $v_2$.
L'unico vincolo che hai è:
\[ \frac{2}{\sqrt 2} x+ \frac{1}{\sqrt2}y = 0 \]
che possiamo anche esplicitare rispetto ad una delle due variabili: \( y = -2x \)
Quindi puoi scegliere qualsiasi vettore nella forma: \( [t,-2t,u]\), dove $t,u$ sono de parametri qualsiasi, e poi renderlo con norma unitaria.
Come vedi la scelta è arbitraria. Inoltre, come ci si poteva aspettare, abbiamo un vettore che dipende da 2 parametri. Questo perché lo spazio ortogonale al vettore $\mathbf{v_1}$ ha dimensione $n - 1 = 2$.
Perfetto!!! ora ci sono
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