Dubbio equazione parametrica
Ciao a tutti! Ho un dubbio sulle equazioni parametriche di una retta: dato un sistema di riferimento affine $(0, vecv_1, vecv_2, vecv_3)$ se una retta passa per $P(x_0, y_0, z_0)$ ed è diretta come il vettore $vecv = avecv_1 + bvecv_2 + cvecv_3$, l'equazione parametrica sarà
${((x = x_0 + at), (y = y_0 + bt), (z = z_0 + ct))
Tuttavia, se a $vecv$ sostituisco $-vecv$, la retta sarà ovviamente la stessa (genererà un sistema di riferimento affine monodimensionale orientato in verso opposto alla retta originaria) ma le equazioni parametriche cambieranno.
Come posso spiegarmi questo fatto?
Ancora: l'equazione parametrica di una retta che passa per $P(x_0,y_0,z_0)$ e $Q(x_1, y_1, z_1)$ è
${((x = x_0 + (x_1-x_0)t), (y = y_0 + (y_1-y_0)t), (z = z_0 + (z_1-z_0)t))
Tuttavia, se inverto $x_1$ e $x_0$, la retta sarà la stessa, ma l'equazione parametrica cambia.
Come posso spiegarmi questo fatto?
Ciao!
${((x = x_0 + at), (y = y_0 + bt), (z = z_0 + ct))
Tuttavia, se a $vecv$ sostituisco $-vecv$, la retta sarà ovviamente la stessa (genererà un sistema di riferimento affine monodimensionale orientato in verso opposto alla retta originaria) ma le equazioni parametriche cambieranno.
Come posso spiegarmi questo fatto?
Ancora: l'equazione parametrica di una retta che passa per $P(x_0,y_0,z_0)$ e $Q(x_1, y_1, z_1)$ è
${((x = x_0 + (x_1-x_0)t), (y = y_0 + (y_1-y_0)t), (z = z_0 + (z_1-z_0)t))
Tuttavia, se inverto $x_1$ e $x_0$, la retta sarà la stessa, ma l'equazione parametrica cambia.
Come posso spiegarmi questo fatto?
Ciao!
Risposte
Te lo sei già spiegato: cambia l'orientamento. 
O era qualcos'altro che non ti spieghi?
O era qualcos'altro che non ti spieghi?
Quindi in definitiva una stessa retta orientata in modo diverso ha equazioni diverse? Perché ciò non accade con l'equazione cartesiana?
Detto molto alla buona, la differenza si spiega così.
L'equazione cartesiana è una rappresentazione insiemistica che ti consente di rappresentare una retta come intersezione di due piani, quindi tiene conto di "cosa c'è intorno" alla retta; se tu percorri una retta in un senso o in un altro, non cambiano i due piani che la contengono e perciò non cambia l'equazione cartesiana della retta.
Viceversa, l'equazione parametrica tiene conto del "modo in cui ti muovi" sulla retta e non le importa di "cosa c'è intorno"; visto che cambiare orientamento equivale ad invertire il vettore direzionale, è del tutto naturale che l'equazione parametrica cambi al mutare dell'orientamento.
L'equazione cartesiana è una rappresentazione insiemistica che ti consente di rappresentare una retta come intersezione di due piani, quindi tiene conto di "cosa c'è intorno" alla retta; se tu percorri una retta in un senso o in un altro, non cambiano i due piani che la contengono e perciò non cambia l'equazione cartesiana della retta.
Viceversa, l'equazione parametrica tiene conto del "modo in cui ti muovi" sulla retta e non le importa di "cosa c'è intorno"; visto che cambiare orientamento equivale ad invertire il vettore direzionale, è del tutto naturale che l'equazione parametrica cambi al mutare dell'orientamento.
Il fatto è che, in realtà, l'equazione non cambia: ciò che cambia è il verso in cui la percorri. Se la tua retta ha equazione vettoriale $X-X_0=t V$ dove $V$ è il versore della direzione e $X_0$ un punto per cui tale retta passa, allora questa equazione parametrica ti dice che puoi raggiungere i punti che stanno "dopo" $X_0$ muovendoti concordemente al vettore $V$ (scegliendo le $t$ positive), mentre puoi raggiungere i punti che si trovano "prima" di $X_0$ muovendoti discordemente al verso di $V$ (scegliendo le $t4 negative).
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