Dubbio diagonalizzazione matrici
Ciao a tutti, giardando gli esercizi avevo trovato questo che non ho capito:
1)Data per esempio la matrice $ ( (1,i) , (i,1) ) $ è possibile trovare una matrice P tale che $ (P
∗)CP $ sia diagonale? Ecco qua non ho capito se quel $ P∗$ sarebbe uguale ad $ P ^(-1) $ con solo la notazione diversa.
autovalori s1=1+i v s2= 1-i
autovettori v1 (1,1) v v2 (-1,1)
2) Data la matrice $ ( (1,2) , (2,1) ) $ trovare una matrice diagonale $ D = P^(t) A P $ anche qua non so se hanno sbagliato a scrivere o no!
autovalori s1= 3 v s2=-1
autovettori v1 (1,1) v v2 (-1,1)
Grazie!
1)Data per esempio la matrice $ ( (1,i) , (i,1) ) $ è possibile trovare una matrice P tale che $ (P
∗)CP $ sia diagonale? Ecco qua non ho capito se quel $ P∗$ sarebbe uguale ad $ P ^(-1) $ con solo la notazione diversa.
autovalori s1=1+i v s2= 1-i
autovettori v1 (1,1) v v2 (-1,1)
2) Data la matrice $ ( (1,2) , (2,1) ) $ trovare una matrice diagonale $ D = P^(t) A P $ anche qua non so se hanno sbagliato a scrivere o no!
autovalori s1= 3 v s2=-1
autovettori v1 (1,1) v v2 (-1,1)
Grazie!
Risposte
Per il punto 2) sono riuscito a trovarla svolgendo normalmente l esercizio, una volta trovati gli autovettori li ho normalizzati, ho moltiplicato quella matrice e la sua trasposta per A e mi viene la matrice $ ( (-1,0) , (0,3) ) $ , non so perche' , perché se anche é diagonale una matrice $ M^(-1) è diverso da M^t $ (ho provato con $ ( (1,2) , (2,1) ) $ )....boh 
Per il punto 2): Una matrice simmetrica può sempre essere diagonalizzata e può essere simile alla matrice diagonale degli autovalori mediante una matrice ortogonale. Se una matrice M è ortogonale (colonne ortogonali e normalizzate) si ha M−1=Mt.
Quindi se mi danno una matrice simmetrica io lo risolvo sempre trovando una matrice ortogonale, e da qui faccio subito la trasposta (dato che nell'inversa ci impiego 10 volte tanto).
Per il punto 1): Con P∗ si intende la trasposta coniugata di P.
Quindi se la matrice di (per esempio) $ ( (2,i) , (-i,2) ) $ con matrice autovettori P = $ ( (i,-i) , (1,1) ) $ allora la coniugata verrebbe $ ( (-i,i) , (1,1) ) $ e la trasposta coniugata $ ( (-i,1) , (i,1) ) $. Sarebbe questa la trasposta coniugata?
Grazie per l'aiuto!
Mi è sorto un'altro dubbio (non me ne sta venendo una!) per far si che valga la legge $ P∗CP $ le matrici hermitiane devono per forza essere simmetriche?? (Ma anche così non mi viene!)
Se prendo per esempio la matrice $ ( (1, i) , (i,1) ) $ la matrice degli autovettori è $ ( (1,-1) , (1,1) ) $ la matrice ortogonalizzata viene $ ( (1/(2^(1/2)), -1/(2^(1/2))) , (1/(2^(1/2)) , 1/(2^(1/2))) ) $ la matrice trasposta coniugata di questa è solo la trasposta, dato che non ci sono $ i $ e da qui P∗P= $ ( (1,0) , (0,1) ) $ e moltiplicata per A, mi ridà A, non so cosa sto sbagliando
Se prendo per esempio la matrice $ ( (1, i) , (i,1) ) $ la matrice degli autovettori è $ ( (1,-1) , (1,1) ) $ la matrice ortogonalizzata viene $ ( (1/(2^(1/2)), -1/(2^(1/2))) , (1/(2^(1/2)) , 1/(2^(1/2))) ) $ la matrice trasposta coniugata di questa è solo la trasposta, dato che non ci sono $ i $ e da qui P∗P= $ ( (1,0) , (0,1) ) $ e moltiplicata per A, mi ridà A, non so cosa sto sbagliando
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