Dubbio di geometria algebrica
Ciao a tutti.
Dunque, non mi è chiaro perché $A^2\\{0\}$ non sia una varietà affine. Riesco a capire che se lo fosse ciò implicherebbe l'esistenza di un isomorfismo tra $A^2\\{0\}$ e $A^2$, ma perché tale morfismo non può esistere?
Dunque, non mi è chiaro perché $A^2\\{0\}$ non sia una varietà affine. Riesco a capire che se lo fosse ciò implicherebbe l'esistenza di un isomorfismo tra $A^2\\{0\}$ e $A^2$, ma perché tale morfismo non può esistere?
Risposte
Nella topologia di Zarinski le varieta algebriche affini sono dei chiusi (per la definizione della topologia). $A^2\{0}$ è un aperto in quanto ${0}$ è chiuso in questa topologia e quindi non può essere una varietà algebrica affine. Si può anche più semplicemente osservare che non esiste nessun insieme finito di polinomi che si annulla su tutto $A^2$ e non in ${0}$.
Quando dico varietà affine intendo la classe di isomorfismo di un "chiuso affine", ossia quello che tu chiami varietà algebrica affine.
$A^2\\{0\}$ non è un chiuso affine, e fin qui siam d'accordo. Può essere isomorfo ad un chiuso affine?
$A^2\\{0\}$ non è un chiuso affine, e fin qui siam d'accordo. Può essere isomorfo ad un chiuso affine?
Non esiste nessuna funzione continua tra un insieme aperto e uno chiuso e quindi tanto meno un isomorfismo (se intendiamo con isomorfismo la stessa cosa).
"apatriarca":
Non esiste nessuna funzione continua tra un insieme aperto e uno chiuso e quindi tanto meno un isomorfismo (se intendiamo con isomorfismo la stessa cosa).
Temo ti sconvolgerà, ma ogni aperto affine principale è isomorfo ad un chiuso affine. Altroché se esistono!
"lorandrum":
[quote="apatriarca"]Non esiste nessuna funzione continua tra un insieme aperto e uno chiuso e quindi tanto meno un isomorfismo (se intendiamo con isomorfismo la stessa cosa).
Temo ti sconvolgerà, ma ogni aperto affine principale è isomorfo ad un chiuso affine. Altroché se esistono![/quote]
Non mi sconvolge, in effetti ci eravamo di nuovo fraintesi. Quindi con isomorfismo tu intendi una mappa birazionale... Nelle mie dispense erano definiti come morfismi le mappe polinomiali e pensavo ti riferissi a quelle. In quel caso i polinomi sono funzioni continue nella topologia di Zarinski e quindi la controimmagine di un chiuso non poteva essere un aperto.
No, non parlavo di mappe razionali, bensì di una nozione più generale riguardante sottinsiemi in $\mathbb{P}^n$.
Ero convinto stessi lavorando nello spazio affine... Mi daresti la definizione a cui ti riferisci? A quanto pare non siamo molto in sintonia sulle definizioni... 
E ormai mi sono incuriosito...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo