Dubbio circa la somma (diretta) di più di 2 sottospazi
Buongiorno,
prima di postare ho cercato nel forum ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Preciso che sono solo in cerca di una conferma su un dubbio veramente idiota che mi è venuto oggi (stavo rivedendo Grassmann e quei discorsi lì) e vorrei togliermelo. Scusate, mi rendo conto che forse è proprio banale, ma preferisco togliermi il tarlo insieme a voi.
Prendete uno spazio vettoriale $V$ e alcuni suoi sottospazi, mettiamo $k$ sottospazi, $W_1, ... W_k$. Tutto in dimensione finita.
Se la somma delle dimensioni è uguale alla dimensione della somma $"dim"W_1 + "dim"W_2 + ... + "dim"W_k="dim"(W_1+W_2+...+W_k)$ allora si può dire che la somma è diretta?
In generale penso proprio di no, bisognerebbe controllare tutte le intersezioni del tipo $W_i nn (W_1+W_2+...+W_(i-1)+W_(i+1)+ ... + W_k)$ e accertarsi che per ogni $i$ siano ridotte al solo vettore nullo: giusto?
Ma che cosa succede se la somma è tutto $V$?
Grazie in anticipo.
prima di postare ho cercato nel forum ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Preciso che sono solo in cerca di una conferma su un dubbio veramente idiota che mi è venuto oggi (stavo rivedendo Grassmann e quei discorsi lì) e vorrei togliermelo. Scusate, mi rendo conto che forse è proprio banale, ma preferisco togliermi il tarlo insieme a voi.
Prendete uno spazio vettoriale $V$ e alcuni suoi sottospazi, mettiamo $k$ sottospazi, $W_1, ... W_k$. Tutto in dimensione finita.
Se la somma delle dimensioni è uguale alla dimensione della somma $"dim"W_1 + "dim"W_2 + ... + "dim"W_k="dim"(W_1+W_2+...+W_k)$ allora si può dire che la somma è diretta?
In generale penso proprio di no, bisognerebbe controllare tutte le intersezioni del tipo $W_i nn (W_1+W_2+...+W_(i-1)+W_(i+1)+ ... + W_k)$ e accertarsi che per ogni $i$ siano ridotte al solo vettore nullo: giusto?
Ma che cosa succede se la somma è tutto $V$?
Grazie in anticipo.
Risposte
Provo a lanciare un'idea purtroppo sono già cotto e non riesco a ragionare bene, dato il caldo 
Scusami sin da ora che dirò delle boiate...
Consideriamo due spazi vettoriali $U,V$ allora per Grassman d$dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U nn V)$, quindi possiamo banalmente concludere che se $dim(U nn V)=0$ allora la somma è diretta.
Consideriamo tre spazi $U,V,W$ sempre per grassman consideriamo $dim((U+V)+W)=dim(U+V)+dim(W)-dim((U+V)nnW)=dim(U)+dim(V)-dim(UnnV)+dim(W)-dim((U+V)nnW)$. Però la dimensione è un intero positivo, quindi se vale l'uguaglianza hai automaticamente $dim(UnnV)=0$ e $dim((U+V)nnW)=0$ quindi la somma è diretta.
Procedendo per induzione magari hai la dimostrazione rigorosa di questo fatto...
Magari verrò smentito però potrebbe essere un'idea (sicuramente ci avrai già pensato!)
Scusami sin da ora che dirò delle boiate...
Consideriamo due spazi vettoriali $U,V$ allora per Grassman d$dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U nn V)$, quindi possiamo banalmente concludere che se $dim(U nn V)=0$ allora la somma è diretta.
Consideriamo tre spazi $U,V,W$ sempre per grassman consideriamo $dim((U+V)+W)=dim(U+V)+dim(W)-dim((U+V)nnW)=dim(U)+dim(V)-dim(UnnV)+dim(W)-dim((U+V)nnW)$. Però la dimensione è un intero positivo, quindi se vale l'uguaglianza hai automaticamente $dim(UnnV)=0$ e $dim((U+V)nnW)=0$ quindi la somma è diretta.
Procedendo per induzione magari hai la dimostrazione rigorosa di questo fatto...
Magari verrò smentito però potrebbe essere un'idea (sicuramente ci avrai già pensato!)
Ciao "Paolo90",
allora quello che so io è:
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita; siano $W$ e $U$ due sottospazi di $V$. Indichiamo con $W+U$ il sottospazio somma di $W$ e $U$, dato da:
$W+U:={w+u|w \in W, u \in U}$
e con $WnnU$ il loro sottospazio intersezione
La formula generale di Grassman afferma che: $dim(W+U)=dim(W)+dim(U)-dim(WnnU)$
poi se i due sottospazi sono in somma diretta, ossia $WnnU={0}$, allora la formula di Grassman diventa:
$dim(W+U)=dim(W)+dim(U)$
Dunque da quello che hai scritto tu, sottointendi già che gli spazi siano in somma diretta perchè non figurando nella formula quel "$-dim(WnnU)$" risulta ovvio che valga $0$.
allora quello che so io è:
Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita; siano $W$ e $U$ due sottospazi di $V$. Indichiamo con $W+U$ il sottospazio somma di $W$ e $U$, dato da:
$W+U:={w+u|w \in W, u \in U}$
e con $WnnU$ il loro sottospazio intersezione
La formula generale di Grassman afferma che: $dim(W+U)=dim(W)+dim(U)-dim(WnnU)$
poi se i due sottospazi sono in somma diretta, ossia $WnnU={0}$, allora la formula di Grassman diventa:
$dim(W+U)=dim(W)+dim(U)$
Dunque da quello che hai scritto tu, sottointendi già che gli spazi siano in somma diretta perchè non figurando nella formula quel "$-dim(WnnU)$" risulta ovvio che valga $0$.
[EDIT] Tutto questo post è basato su una considerazione falsa. Leggete a vostro rischio e pericolo! 
https://www.matematicamente.it/forum/for ... 69768.html
[/EDIT]
Io vorrei spendere due parole sulla formula di Grassmann nel caso di più sottospazi.
Per prima cosa vorrei ricordare un principio di matematica elementare che in realtà è la manifestazione di un potente teorema di teoria della misura: il principio di inclusione-esclusione. Se [tex]A, B[/tex] sono due insiemi finiti, indicando con [tex]\#[/tex] il numero di elementi di un insieme risulta che
[tex]$\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)[/tex].
Per contare il numero di elementi dell'unione contiamo gli elementi in ciascun insieme e sottraiamo il numero di elementi dell'intersezione, che altrimenti sarebbero contati due volte. Ora scriviamo la formula di Grassmann: siano [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale di dimensione finita e [tex]U, W[/tex] due sottospazi:
[tex]$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)[/tex].
Ricordando che [tex]U+W[/tex] è il più piccolo sottospazio vettoriale a contenere [tex]U\cup W[/tex], e che dunque [tex]U+W[/tex] è l'analogo dell'unione nel contesto dei sottospazi vettoriali (qui qualche esperto di algebra astratta potrà certamente integrare la mia esposizione), l'analogia è evidente. Infatti, la formula di Grassmann è esattamente il principio di inclusione-esclusione, solo applicato ai sottospazi vettoriali mediante la nozione di dimensione che è un utilissimo surrogato della nozione di numero di elementi di un insieme finito.
In altre parole, uno spazio vettoriale di dimensione finita non è un insieme finito, ma neanche per l'anticamera; dal punto di vista della cardinalità nuda e cruda è (in generale) immenso. Però c'è il concetto di dimensione, che si comporta per molti versi esattamente come la cardinalità nel caso finito:
-) le applicazioni lineari ingettive sono anche surgettive, e viceversa, proprio come le applicazioni tra insiemi finiti;
-) l'unico sottospazio avente dimensione uguale alla dimensione dello spazio totale è lo spazio totale stesso, esattamente come in un insieme di [tex]n[/tex] elementi l'unico sottoinsieme di [tex]n[/tex] elementi è l'insieme stesso;
-) vale la formula di Grassmann, laddove negli insiemi finiti vale il principio di inclusione-esclusione.
___________
Ora il principio di inclusione-esclusione si può generalizzare alle unioni di [tex]n[/tex] insiemi. Vale infatti questa formula, la cui dimostrazione per induzione è piuttosto noiosa:
Siano [tex]A_1 \ldots A_n \subset X[/tex], dove [tex]X[/tex] è un insieme finito. Detti
[tex]$p_1=\sum_{k=1}^n\#A_k,\ p_2=\sum_{1\le i
risulta che
[tex]\#(A_1\cup ... \cup A_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}p_k[/tex]
[size=75](E' piuttosto complicata, si può provare a visualizzare intuitivamente nel caso [tex]n=3[/tex]. Comunque non è essenziale conoscerla).[/size]
E seguendo la nostra analogia tra insiemi finiti e spazi di dimensione finita, è tramite questa formula che potremo avere una versione della formula di Grassmann per più di due sottospazi:
siano [tex]W_1 ... W_n[/tex] sottospazi di [tex]V[/tex], dove [tex]V[/tex] ha dimensione finita. Allora
[tex]\dim(W_1 + ... + W_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}p_k[/tex]
dove
[tex]$p_1=\sum_{k=1}^n \dim W_k,\ p_2=\sum_{1\le i
Molto complicata e utile un'unghia di quella per [tex]n=2[/tex], ma c'è. Potrebbe servire, non si sa mai.
Ma è vietato cercare di impararla a memoria!
https://www.matematicamente.it/forum/for ... 69768.html
[/EDIT]
Io vorrei spendere due parole sulla formula di Grassmann nel caso di più sottospazi.
Per prima cosa vorrei ricordare un principio di matematica elementare che in realtà è la manifestazione di un potente teorema di teoria della misura: il principio di inclusione-esclusione. Se [tex]A, B[/tex] sono due insiemi finiti, indicando con [tex]\#[/tex] il numero di elementi di un insieme risulta che
[tex]$\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)[/tex].
Per contare il numero di elementi dell'unione contiamo gli elementi in ciascun insieme e sottraiamo il numero di elementi dell'intersezione, che altrimenti sarebbero contati due volte. Ora scriviamo la formula di Grassmann: siano [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale di dimensione finita e [tex]U, W[/tex] due sottospazi:
[tex]$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)[/tex].
Ricordando che [tex]U+W[/tex] è il più piccolo sottospazio vettoriale a contenere [tex]U\cup W[/tex], e che dunque [tex]U+W[/tex] è l'analogo dell'unione nel contesto dei sottospazi vettoriali (qui qualche esperto di algebra astratta potrà certamente integrare la mia esposizione), l'analogia è evidente. Infatti, la formula di Grassmann è esattamente il principio di inclusione-esclusione, solo applicato ai sottospazi vettoriali mediante la nozione di dimensione che è un utilissimo surrogato della nozione di numero di elementi di un insieme finito.
In altre parole, uno spazio vettoriale di dimensione finita non è un insieme finito, ma neanche per l'anticamera; dal punto di vista della cardinalità nuda e cruda è (in generale) immenso. Però c'è il concetto di dimensione, che si comporta per molti versi esattamente come la cardinalità nel caso finito:
-) le applicazioni lineari ingettive sono anche surgettive, e viceversa, proprio come le applicazioni tra insiemi finiti;
-) l'unico sottospazio avente dimensione uguale alla dimensione dello spazio totale è lo spazio totale stesso, esattamente come in un insieme di [tex]n[/tex] elementi l'unico sottoinsieme di [tex]n[/tex] elementi è l'insieme stesso;
-) vale la formula di Grassmann, laddove negli insiemi finiti vale il principio di inclusione-esclusione.
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Ora il principio di inclusione-esclusione si può generalizzare alle unioni di [tex]n[/tex] insiemi. Vale infatti questa formula, la cui dimostrazione per induzione è piuttosto noiosa:
Siano [tex]A_1 \ldots A_n \subset X[/tex], dove [tex]X[/tex] è un insieme finito. Detti
[tex]$p_1=\sum_{k=1}^n\#A_k,\ p_2=\sum_{1\le i
risulta che
[tex]\#(A_1\cup ... \cup A_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}p_k[/tex]
[size=75](E' piuttosto complicata, si può provare a visualizzare intuitivamente nel caso [tex]n=3[/tex]. Comunque non è essenziale conoscerla).[/size]
E seguendo la nostra analogia tra insiemi finiti e spazi di dimensione finita, è tramite questa formula che potremo avere una versione della formula di Grassmann per più di due sottospazi:
siano [tex]W_1 ... W_n[/tex] sottospazi di [tex]V[/tex], dove [tex]V[/tex] ha dimensione finita. Allora
[tex]\dim(W_1 + ... + W_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}p_k[/tex]
dove
[tex]$p_1=\sum_{k=1}^n \dim W_k,\ p_2=\sum_{1\le i
Molto complicata e utile un'unghia di quella per [tex]n=2[/tex], ma c'è. Potrebbe servire, non si sa mai.
Ma è vietato cercare di impararla a memoria!
Dunque, ringrazio tutti per le risposte.
@ mistake: ti ringrazio, penso proprio sia l'idea giusta... non ci avevo pensato, penso che la cosa si sistemi proprio così. Sono strafuso anche io, sto studiando troppo (e poi certo che i miei due neuroni sono fusi ). Grazie mille.
@ alexp: sì, grazie ma il caso dei due sottospazi è chiaro, proprio perchè c'è Grassmann che salva la situazione. Il punto delicato su cui mi erano sorti dubbi era invece quello con più di due sottospazi.
@ dissonance: be', che dire... GRAZIE, ogni volta superi te stesso con simili post. E' tutto molto chiaro, conoscevo il principio che citi ma certo non così in dettaglio. Grazie per la tua pazienza, e grazie per i tuoi interventi così interessanti, utili, "illuminanti".
@ mistake: ti ringrazio, penso proprio sia l'idea giusta... non ci avevo pensato, penso che la cosa si sistemi proprio così. Sono strafuso anche io, sto studiando troppo (e poi certo che i miei due neuroni sono fusi
). Grazie mille.@ alexp: sì, grazie ma il caso dei due sottospazi è chiaro, proprio perchè c'è Grassmann che salva la situazione. Il punto delicato su cui mi erano sorti dubbi era invece quello con più di due sottospazi.
@ dissonance: be', che dire... GRAZIE, ogni volta superi te stesso con simili post. E' tutto molto chiaro, conoscevo il principio che citi ma certo non così in dettaglio. Grazie per la tua pazienza, e grazie per i tuoi interventi così interessanti, utili, "illuminanti".
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