Dubbio circa Curvatura e Torsione in una curva nello spazio
Salve a tutti! intanto complimenti per questo forum che trovo davvero chiaro e ben strutturato.
Vi scrivo per cercare di chiarire un dubbio.
Analizzando una curva nello spazio del tipo $ r(t)=(xt; yt; zt) $ possiamo ricavare vari elementi quali versori tangenti, normale, binormale ecc, ma quello che mi interessa è la procedura per ricavare Torsione e curvatura.
Da quello che so, la curvatura in un punto t è data dal modulo della derivata prima del versore tangente in t fratto il modulo della derivata prima della curva di partenza.
Analogamente, per la torsione è la derivata prima del modulo della binormale in t, fratto il modulo delle derivata prima della curva di partenza.
Nonostante siano corretti questi 2 metodi, sono lunghissimi e dispersivi. In particolare il calcolo della derivata del versore tangente e della binormale, comportano uno spreco di tempo enorme che sviano da una risoluzione veloce e pulita. Quindi, la mia domanda è: esiste un ragionamento che porta al calcolo di torsione e curvatura senza passare per queste formule?
Grazie in anticipo
Vi scrivo per cercare di chiarire un dubbio.
Analizzando una curva nello spazio del tipo $ r(t)=(xt; yt; zt) $ possiamo ricavare vari elementi quali versori tangenti, normale, binormale ecc, ma quello che mi interessa è la procedura per ricavare Torsione e curvatura.
Da quello che so, la curvatura in un punto t è data dal modulo della derivata prima del versore tangente in t fratto il modulo della derivata prima della curva di partenza.
Analogamente, per la torsione è la derivata prima del modulo della binormale in t, fratto il modulo delle derivata prima della curva di partenza.
Nonostante siano corretti questi 2 metodi, sono lunghissimi e dispersivi. In particolare il calcolo della derivata del versore tangente e della binormale, comportano uno spreco di tempo enorme che sviano da una risoluzione veloce e pulita. Quindi, la mia domanda è: esiste un ragionamento che porta al calcolo di torsione e curvatura senza passare per queste formule?
Grazie in anticipo
Risposte
NO: se hanno trovato quelle formule e non ti danno altri "metodi", un motivo ci sarà. Per fare le cose in geometria bisogna imparare a sporcarsi le mani con i conti, altrimenti non si va da nessuna parte. 
a me non hanno dato nessuna formula. Il corso lo sto facendo da non frequentante per problemi personali e questo è quello che ho ricavato.
Al momento dell'esame ho risposto solo ad un paio di punti perché ho riempito 2 pagine di conti per trovare un paio di soluzioni su tutto il compito, mentre gente affianco a me con 3 righe aveva risolto l'esercizio; ergo, io sto seguendo una strada corretta ma troppo lunga. capisci anche te che non è plausibile sprecare 40 minuti per risolvere una derivata che comporta una minuscola parte di tutto l'esame...
Al momento dell'esame ho risposto solo ad un paio di punti perché ho riempito 2 pagine di conti per trovare un paio di soluzioni su tutto il compito, mentre gente affianco a me con 3 righe aveva risolto l'esercizio; ergo, io sto seguendo una strada corretta ma troppo lunga. capisci anche te che non è plausibile sprecare 40 minuti per risolvere una derivata che comporta una minuscola parte di tutto l'esame...
Prova a postare il tipo di curva che avevi assegnata... Probabile che i conti si possano semplificare in qualche modo.
eh chi lo sa, non ho più il testo. Venivano dati 2 punti ed un terzo con le incognite più l'equazione di una curva. bisognava trovare questo terzo punto grazie alle formule utilizzate per trovare le curve di bezier e poi diceva di trovare torsione, curvatura e piano osculatore della curva. Qual'è il procedimento che voi seguireste? io ho provato come ho scritto nel primo post ma viene una cosa immensa... con radici quadrate a numeratore e denominatore, che poi derivate diventano conti enormi. non so davvero che pesci pigliare
Se non ricordi il testo, non posso esserti d'aiuto più di così, anche perchè non ho mai lavorato sulle curve d Brezier... Prova a chiedere a qualche tuo collega di corso, o aspetta qualcuno che ne sappia un po' di più.
Ad esempio se hai [tex](x= sen\ t;\ y = cos\ t; z = t)[/tex]
riesci a trovare il raggio di curvatura ?
riesci a trovare il raggio di curvatura ?
Guardando la curva che mi hai proposto io seguirei il metodo che ho scritto in cima, ma diventa parecchio lungo... cioè trovare il versore generico tangente in t ecc ecc. Quindi anche voi conoscete solo questo metodo?
comunque grazie do' un occhiata agli esercizi intanto
...
Sembra che tu abbia colto nel segno. guardando il primo esercizio trova quello che mi serve con pochi passaggi. non capisco però cosa risulti continuando a derivare la curva di partenza. potreste illuminarmi x favore?
in oltre sembra che non abbia bisogno della derivata prima del versore tangente per la torsione... come mai?
comunque grazie do' un occhiata agli esercizi intanto
...
Sembra che tu abbia colto nel segno. guardando il primo esercizio trova quello che mi serve con pochi passaggi. non capisco però cosa risulti continuando a derivare la curva di partenza. potreste illuminarmi x favore?
in oltre sembra che non abbia bisogno della derivata prima del versore tangente per la torsione... come mai?
"Asch":
Guardando la curva che mi hai proposto io seguirei il metodo che ho scritto in cima, ma diventa parecchio lungo... cioè trovare il versore generico tangente in t ecc ecc. Quindi anche voi conoscete solo questo metodo?
comunque grazie do' un occhiata agli esercizi intanto
La curva che ti ho proposto è una "molla", una elica, non è complicato trovare la terna di Frenet.
...
Sembra che tu abbia colto nel segno. guardando il primo esercizio trova quello che mi serve con pochi passaggi. non capisco però cosa risulti continuando a derivare la curva di partenza. potreste illuminarmi x favore?
in oltre sembra che non abbia bisogno della derivata prima del versore tangente per la torsione... come mai?
La curva viene derivata 3 volte. Perchè ?
Alla seconda derivazione trovi l'accelerazione.
A questo punto cerca di immaginare il vettore accelerazione. Prendiamo una curva la cui velocità è 1 (parametrizzata secondo ascissa curvilinea).
Se la curva rimane sempre nello stesso piano (torsione zero), significa che il vettore accelerazione si muove sempre nel piano della curva.
Immagina una vettura che viaggia a velocità costante: il vettore accelerazione sarà sempre a destra o a sinistra, perpendicolare.
Non sarà mai inclinato in alto o in basso, altrimenti significa che la vettura starebbe per decollare !
Per cui se vogliamo cercare una torsione cosa faremo ?
Guardiamo come cambia l'accelerazione, quindi vediamo se questo cambiamento ha qualche componente verso l'alto o verso il basso.
Allora, diventiamo un po' più rigorosi coi calcoli.
Abbiamo una curva $\gamma (s)$.
Ne prendiamo l'accelerazione $\gamma^{''} (s)$.
Come ti dicevo, dobbiamo vedere come cambia l'accelerazione. Cosa vuol dire ? Fare un'altra volta la derivata.
Otteniamo $\gamma^{'''} (s)$.
Intanto abbiamo visto perchè salta fuori la derivata terza.
Quindi vediamo se questa derivata terza ha componenti verso l'alto o il basso.
Chi e' l'alto o il basso ? Il vettore binormale, e lo scriviamo come $\gamma^{'} (s) X \gamma^{''} (s)$
Cosa vuol dire vedere se un vettore ha qualche componente su un altro vettore ? Facciamo il prodotto scalare dei due.
Se sono perpendicolari il prodotto scalare sarà zero, cioè l'accelerazione non ha componenti sul vettore binormale, la sua proiezione sul vettore binormale è nulla.
Alla fine diventa $\gamma^{'''} (s) \ cdot (\gamma^{'} (s)\ \times\ \gamma^{''} (s))$
Che poi sarebbe quello che c'è scritto qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_nell ... e_torsione
[/quote]
"Asch":
Guardando la curva che mi hai proposto io seguirei il metodo che ho scritto in cima, ma diventa parecchio lungo... cioè trovare il versore generico tangente in t ecc ecc. Quindi anche voi conoscete solo questo metodo?
comunque grazie do' un occhiata agli esercizi intanto
La curva che ti ho proposto è una "molla", una elica, non è complicato trovare la terna di Frenet.
...
Sembra che tu abbia colto nel segno. guardando il primo esercizio trova quello che mi serve con pochi passaggi. non capisco però cosa risulti continuando a derivare la curva di partenza. potreste illuminarmi x favore?
in oltre sembra che non abbia bisogno della derivata prima del versore tangente per la torsione... come mai?
La curva viene derivata 3 volte. Perchè ?
Alla seconda derivazione trovi l'accelerazione.
A questo punto cerca di immaginare il vettore accelerazione. Prendiamo una curva la cui velocità è 1 (parametrizzata secondo ascissa curvilinea).
Se la curva rimane sempre nello stesso piano (torsione zero), significa che il vettore accelerazione si muove sempre nel piano della curva.
Immagina una vettura che viaggia a velocità costante: il vettore accelerazione sarà sempre a destra o a sinistra, perpendicolare.
Non sarà mai inclinato in alto o in basso, altrimenti significa che la vettura starebbe per decollare !
Per cui se vogliamo cercare una torsione cosa faremo ?
Guardiamo come cambia l'accelerazione, quindi vediamo se questo cambiamento ha qualche componente verso l'alto o verso il basso.
Allora, diventiamo un po' più rigorosi coi calcoli.
Abbiamo una curva $\gamma (s)$.
Ne prendiamo l'accelerazione $\gamma^{''} (s)$.
Come ti dicevo, dobbiamo vedere come cambia l'accelerazione. Cosa vuol dire ? Fare un'altra volta la derivata.
Otteniamo $\gamma^{'''} (s)$.
Intanto abbiamo visto perchè salta fuori la derivata terza.
Quindi vediamo se questa derivata terza ha componenti verso l'alto o il basso.
Chi e' l'alto o il basso ? Il vettore binormale, e lo scriviamo come $\gamma^{'} (s) X \gamma^{''} (s)$
Cosa vuol dire vedere se un vettore ha qualche componente su un altro vettore ? Facciamo il prodotto scalare dei due.
Se sono perpendicolari il prodotto scalare sarà zero, cioè l'accelerazione non ha componenti sul vettore binormale, la sua proiezione sul vettore binormale è nulla.
Alla fine diventa $\gamma^{'''} (s) \ cdot (\gamma^{'} (s)\ \times\ \gamma^{''} (s))$
Che poi sarebbe quello che c'è scritto qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_nell ... e_torsione
[/quote]
grazie mille ottima spiegazione davvero!
Dunque, guardando anche il link che mi hai dato, per curvatura e torsione non mi sembra servano i tre versori della terna di Frenet... giusto?
cioè io vedo che curvatura è uguale al modulo della derivata seconda della curva di partenza, mentre la torsione è uguale a al prodotto della derivata prima per la seconda della curva di partenza, per il prodotto scalare del modulo della derivata terza fratto la curvatura al quadrato; è così?
Dunque, guardando anche il link che mi hai dato, per curvatura e torsione non mi sembra servano i tre versori della terna di Frenet... giusto?
cioè io vedo che curvatura è uguale al modulo della derivata seconda della curva di partenza, mentre la torsione è uguale a al prodotto della derivata prima per la seconda della curva di partenza, per il prodotto scalare del modulo della derivata terza fratto la curvatura al quadrato; è così?
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