Dubbio assurdo di Geometria
Cercate di perdonare il livello di semplicità del quesito che sto per porvi.
Come faccio a costruire esplicitamente un'affinità nel piano affine che mappa 3 punti affinemente indipendenti in 3 punti affinemente indipendenti? Mi spiego meglio: come faccio a trovare $A$ invertibile e $b$ vettore tale che $(x',y')^T=A*(x,y)^T+b$?
Come faccio a costruire esplicitamente un'affinità nel piano affine che mappa 3 punti affinemente indipendenti in 3 punti affinemente indipendenti? Mi spiego meglio: come faccio a trovare $A$ invertibile e $b$ vettore tale che $(x',y')^T=A*(x,y)^T+b$?
Risposte
Ci sono almeno tre modi di farlo se hai le immagini di un riferimento:
1)imponi alle entrate incognite della matrice di soddisfare le condizioni imposte alle coordinate (difficile, a livello di conti è infernale)
2) ragioni con la definizione, in modo che alla tua affinità $F$ è associato un automorfismo $\phi$ (la sottomatrice che sta sotto la riga 1 0..0 per intenderci) definito in modo che $F(P)-F(Q) = \phi(P-Q)$ e da lì ricostruisci l'unica appl. lineare invertibile che manda la base di partenza nella base di arrivo
3) scrivi la matrice che manda il simplesso canonico nel primo riferimento (chiama $A$ questa affinità, si scrive in fretta mettendo in colonna le coordinate di quella base) e quella che manda il simplesso nel secondo riferimento (chiamala $B$) la tua ffinità allora è la composizione dell'una per l'inversa dell'altra, $F=BA^{-1}$
1)imponi alle entrate incognite della matrice di soddisfare le condizioni imposte alle coordinate (difficile, a livello di conti è infernale)
2) ragioni con la definizione, in modo che alla tua affinità $F$ è associato un automorfismo $\phi$ (la sottomatrice che sta sotto la riga 1 0..0 per intenderci) definito in modo che $F(P)-F(Q) = \phi(P-Q)$ e da lì ricostruisci l'unica appl. lineare invertibile che manda la base di partenza nella base di arrivo
3) scrivi la matrice che manda il simplesso canonico nel primo riferimento (chiama $A$ questa affinità, si scrive in fretta mettendo in colonna le coordinate di quella base) e quella che manda il simplesso nel secondo riferimento (chiamala $B$) la tua ffinità allora è la composizione dell'una per l'inversa dell'altra, $F=BA^{-1}$
Grazie per avermi rinfrescato la memoria. 
Non capisco perché il modo 1) dovrebbe implicare più conti degli altri due... 
il modo 2) in fondo è la stessa cosa dell'1), fai meno conti se conosci già l'immagine dell'origine (in questo caso devi determinare solo l'endomorfismo e la traslazione ti viene gratis)...
Ma se non conosci l'immagine dell'origine penso che finisci con gli stessi conti del primo metodo, no?
Invece il modo 3) non l'ho proprio capito
se ti va di spiegarlo più nel dettaglio...
il modo 2) in fondo è la stessa cosa dell'1), fai meno conti se conosci già l'immagine dell'origine (in questo caso devi determinare solo l'endomorfismo e la traslazione ti viene gratis)...
Ma se non conosci l'immagine dell'origine penso che finisci con gli stessi conti del primo metodo, no?
Invece il modo 3) non l'ho proprio capito
se ti va di spiegarlo più nel dettaglio...
"dissonance":
Non capisco perché il modo 1) dovrebbe implicare più conti degli altri due...
il modo 2) in fondo è la stessa cosa dell'1), fai meno conti se conosci già l'immagine dell'origine (in questo caso devi determinare solo l'endomorfismo e la traslazione ti viene gratis)...
Ma se non conosci l'immagine dell'origine penso che finisci con gli stessi conti del primo metodo, no?
Invece il modo 3) non l'ho proprio capito
nesuno dei tre metodi è "gratuito", ma il terzo è molto più elegante secondo me.
diciamo che le cose stanno così: finchè hai affinità del piano, il primo modo è il più veloce e ti assicura di sbagliare piuttosto di rado. Se invece parliamo di affinità dello spazio credo molto più veloce il terzo metodo, si tratta solo di madare la base canonica nei vettori del primo riferimento mediante l'affinità A, la base canonica nei vettori della base del secondo riferimento mediante l'affinità B, e poi comporre l'una con l'inversa dell'altra, una cosa del genere:
il triangolino in alto è il simplesso canonico del riferimento che ha per origine (0,0) e per base la base canonica: la matrice dell'automorfismo associato ad A ha in colonna le coord. dei vettori del riferimento di partenza, la matrice di B quelle della base di arrivo. L'unica fatica è quella di invertire una delle due matrici (occhio a quale delle due!)
carino! in pratica mandi i primi punti nei punti fondamentali e i punti fondamentali nei punti di arrivo, giusto?
E dici che costa meno in termini di conti?
A occhio mi pare di capire che il costo è, bene o male, sempre lo stesso però forse sono conti più facili.
E dici che costa meno in termini di conti?
A occhio mi pare di capire che il costo è, bene o male, sempre lo stesso però forse sono conti più facili.
in pratica mandi i primi punti nei punti fondamentali e i punti fondamentali nei punti di arrivo
Esatto. A livello di conti diciamo che l'unica cosa grossa è trovare l'inversa di A... poi si fa piuttosto in fretta
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