Dubbio amletico: simili o non simili? (matrici)
Ho una domanda che mi fa dubitare di aver capito l'utilità dello studio delle matrici triangolari e diagonali se poi nel mio corso non si arriva fino alla forma di jordan...
Ma se due matrici sono diagonalizzabili, ed hanno gli stessi autovettori, autovalori e autospazi, allora sono simili?
Stessa domanda per le matrici triangolabili: se hanno polinomio caratteristico e dimensioni degli autospazi uguali, sono simili?
Ma se due matrici sono diagonalizzabili, ed hanno gli stessi autovettori, autovalori e autospazi, allora sono simili?
Stessa domanda per le matrici triangolabili: se hanno polinomio caratteristico e dimensioni degli autospazi uguali, sono simili?
Risposte
La prima domanda è facile: se due matrici sono diagonalizzabili e hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità, allora sono simili. Ma questo è ovvio, sono entrambe simili alla matrice avente quegli autovalori sulla diagonale principale.
Invece il secondo caso è un po' più subdolo. Lo sintetizzo:
è vero che, date due matrici triangolarizzabili con gli stessi autovalori e le stessa molteplicità algebrica e geometrica, queste sono simili?
Sicuramente avere gli stessi autovalori con la stessa molteplicità algebrica non basta: vedi $[[1,0], [0,1]]$ e $[[1,1],[0,1]]$.
Ma mi sembra di ricordare che anche aggiungendo la richiesta sulla molteplicità geometrica ancora non riesci a garantire che le due matrici siano simili.
Il che non mi pare strano: se l'affermazione dovesse essere vera, allora in un campo -come quello complesso- in cui tutte le matrici sono triangolarizzabili autovalori e molteplicità sarebbero sufficienti a classificarle completamente per similitudine. Mentre invece non è così, tanto è vero che si studiano le forme canoniche di Jordan. Spero di essere stato chiaro stavolta!
[edit] risistemato un po' il tutto.
Invece il secondo caso è un po' più subdolo. Lo sintetizzo:
è vero che, date due matrici triangolarizzabili con gli stessi autovalori e le stessa molteplicità algebrica e geometrica, queste sono simili?
Sicuramente avere gli stessi autovalori con la stessa molteplicità algebrica non basta: vedi $[[1,0], [0,1]]$ e $[[1,1],[0,1]]$.
Ma mi sembra di ricordare che anche aggiungendo la richiesta sulla molteplicità geometrica ancora non riesci a garantire che le due matrici siano simili.
Il che non mi pare strano: se l'affermazione dovesse essere vera, allora in un campo -come quello complesso- in cui tutte le matrici sono triangolarizzabili autovalori e molteplicità sarebbero sufficienti a classificarle completamente per similitudine. Mentre invece non è così, tanto è vero che si studiano le forme canoniche di Jordan. Spero di essere stato chiaro stavolta!
[edit] risistemato un po' il tutto.
Però ad esempio le matrici $[[1,1],[0,1]]$ e $[[1,2],[0,1]]$ sono simili, questo non significa che il rappresentante triangolare non è unico come quello diagonale? E che comunque due matrici triangolabili con gli stessi autovalori ed autospazi sono simili? cioè altrimenti non capisco perchè abbiamo insistito tanto sulle matrici triangolabili se poi la forma di jordan è riservata al corso di Geometria II che è facoltativo...
Sulla non unicità del rappresentante triangolare ti sei risposto da solo, e non mi pare ci sia da aggiungere altro. Sulla proposizione di prima, ti propongo un controesempio:
prendiamo $lambda$ in un campo che vuoi. Allora le due matrici $[[lambda, 1,0,0], [0, lambda, 1, 0], [0,0,lambda, 0], [0,0,0,lambda]]$, $[[lambda, 1, 0, 0], [0, lambda, 0, 0], [0, 0, lambda, 1], [0,0,0,lambda]]$ hanno lo stesso polinomio caratteristico $(lambda-x)^4$, la stessa dimensione del $lambda$-autospazio (2), e però non sono simili.
Che non siano simili io lo dico in base a quel pochissimissimo che so di teoria di Jordan, se non ricordo male queste matrici sono già in forma canonica ed essendo diverse, non sono simili. Purtroppo non ti so indicare un modo elementare per dimostrare questo fatto.
prendiamo $lambda$ in un campo che vuoi. Allora le due matrici $[[lambda, 1,0,0], [0, lambda, 1, 0], [0,0,lambda, 0], [0,0,0,lambda]]$, $[[lambda, 1, 0, 0], [0, lambda, 0, 0], [0, 0, lambda, 1], [0,0,0,lambda]]$ hanno lo stesso polinomio caratteristico $(lambda-x)^4$, la stessa dimensione del $lambda$-autospazio (2), e però non sono simili.
Che non siano simili io lo dico in base a quel pochissimissimo che so di teoria di Jordan, se non ricordo male queste matrici sono già in forma canonica ed essendo diverse, non sono simili. Purtroppo non ti so indicare un modo elementare per dimostrare questo fatto.
ok perfetto grazie per la seconda volta!
Comunque non credere che la forma triangolare sia qualcosa di inutile. Al contrario, per me è utilissima per capire le matrici, senza la necessità di affondare fino al collo nella teoria di Jordan che è molto più complicata da capire e anche da applicare.
il problema adesso è, dopo aver scoperto che una matrice è triangolabile, come fare a trovare un rappresentante triangolare della sua classe di equivalenza, senza ricorrere alla definizione delle matrici simili:
$A = M^-1 B M$
In altre parole come determino gli elementi sopra la diagonale della matrice triangolare cercata?
$A = M^-1 B M$
In altre parole come determino gli elementi sopra la diagonale della matrice triangolare cercata?
Puoi costruire un algoritmo esplicito. Nel caso di matrici complesse questa si chiama forma canonica di Schur.
L'idea è procedere così: prendiamo la matrice $ntimesn$, diciamo $A$, e supponiamo che i suoi autovalori siano $(lambda_1, ..., lambda_n)$, eventualmente ripetuti. Prendiamo il primo autovalore $lambda_1$ e un autovettore $v_1$, completiamo in una base di $K^n$ ($K$ ovviamente è il campo di riferimento) e portiamo $A$ nella nuova base (passami l'espressione impropria, spero sia chiaro quello che voglio dire). Otteniamo una nuova matrice, diciamo $A'$, fatta così: $[[lambda_1, *, ..., *], [0, *, ..., *], [vdots, ,ddots, ], [0, *, ..., *]]$. Questa matrice è simile ad $A$. Ora elimina la prima riga e la prima colonna: ottieni una matrice $(n-1)times(n-1)$ i cui autovalori sono esattamente $(lambda_2, ..., lambda_n)$. (Per rendertene conto, calcola il polinomio caratteristico di $A'$: ottieni $(lambda_1-x)p(x)=p_A(x)$, dove $p$ è il polinomio caratteristico della matrice $(n-1)times(n-1)$ e $p_A$ quello di $A$). Rifai su questa sottomatrice il tutto. Iterando $n-1$ volte il procedimento arrivi ad una forma triangolare.
Questa è l'idea, a te mettere a punto i vari dettagli.
L'idea è procedere così: prendiamo la matrice $ntimesn$, diciamo $A$, e supponiamo che i suoi autovalori siano $(lambda_1, ..., lambda_n)$, eventualmente ripetuti. Prendiamo il primo autovalore $lambda_1$ e un autovettore $v_1$, completiamo in una base di $K^n$ ($K$ ovviamente è il campo di riferimento) e portiamo $A$ nella nuova base (passami l'espressione impropria, spero sia chiaro quello che voglio dire). Otteniamo una nuova matrice, diciamo $A'$, fatta così: $[[lambda_1, *, ..., *], [0, *, ..., *], [vdots, ,ddots, ], [0, *, ..., *]]$. Questa matrice è simile ad $A$. Ora elimina la prima riga e la prima colonna: ottieni una matrice $(n-1)times(n-1)$ i cui autovalori sono esattamente $(lambda_2, ..., lambda_n)$. (Per rendertene conto, calcola il polinomio caratteristico di $A'$: ottieni $(lambda_1-x)p(x)=p_A(x)$, dove $p$ è il polinomio caratteristico della matrice $(n-1)times(n-1)$ e $p_A$ quello di $A$). Rifai su questa sottomatrice il tutto. Iterando $n-1$ volte il procedimento arrivi ad una forma triangolare.
Questa è l'idea, a te mettere a punto i vari dettagli.
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