Dubbi vari: diagonalizzazione e forma quadratiche
Ciao ragazzi, stavo svolgendo alcuni esercizi quest'oggi e ho trovato alcuni punti su cui mi sono sorti dei dubbi. Ho provato anche a cercare nel web ma non ho trovato niente che potesse levarmi tali dubbi, quindi ho pensato di chiedere a voi. Allora il primo dubbio è:
1) come si fa a dire se una matrice è diagonalizzabile prima di svolgere i calcoli?
io so dire se è diagonalizzabile nel caso in cui molteplicità algebrica e geometrica sono uguali, ma in tal caso devo prima calcolarmi autovettori e autospazi relativi. Oppure so che è diagonalizzabile se la matrice A dell'endomorfismo in questione è simmetrica ed in tal caso avrò che la matrice di passaggio sarà una matrice ortogonale. Ma oltre a questi due metodi come posso sapere se è diagonalizzabile o meno senza trovare autovalori, autovettori e autospazi?
2)Ho una forma bilineare simmetrica, come faccio a dimostrare che è definita positiva senza fare calcoli? In realtà non so se sia senza fare i calcoli però il testo dell'esercizio mi dà questo come secondo punto mentre al primo mette: dire se la forma bilineare è simmetrica. Quindi io svolgendolo ho dapprima dimostrato che è simmetrica però poi non so come dire se è o meno definita positiva senza eseguire i calcoli che mi vengono richiesti nei passi successivi. La forma quadratica è:
$\phi$$(A,B)=Tr(AB)$
3) ho queste due forme quadratiche:
a) $x_1^2-2x_1x_3+x_2^2+x_3^2$ definita su $RR^3$
b) $x_1x_4-8x_1x_3+4x_2x_3-2x_3x_4$ definita su $RR^4$
mi potete dire se sono giuste queste due forme canoniche:
a) $x_1^2+x_2^2$
b) $x_1^2-25x_2^2-600x_3^2$
Confido in voi per schiarirmi le idee su questi piccoli dubbi. Aspetto vostre idee, suggerimenti o risposte che possano aiutarmi.
1) come si fa a dire se una matrice è diagonalizzabile prima di svolgere i calcoli?
io so dire se è diagonalizzabile nel caso in cui molteplicità algebrica e geometrica sono uguali, ma in tal caso devo prima calcolarmi autovettori e autospazi relativi. Oppure so che è diagonalizzabile se la matrice A dell'endomorfismo in questione è simmetrica ed in tal caso avrò che la matrice di passaggio sarà una matrice ortogonale. Ma oltre a questi due metodi come posso sapere se è diagonalizzabile o meno senza trovare autovalori, autovettori e autospazi?
2)Ho una forma bilineare simmetrica, come faccio a dimostrare che è definita positiva senza fare calcoli? In realtà non so se sia senza fare i calcoli però il testo dell'esercizio mi dà questo come secondo punto mentre al primo mette: dire se la forma bilineare è simmetrica. Quindi io svolgendolo ho dapprima dimostrato che è simmetrica però poi non so come dire se è o meno definita positiva senza eseguire i calcoli che mi vengono richiesti nei passi successivi. La forma quadratica è:
$\phi$$(A,B)=Tr(AB)$
3) ho queste due forme quadratiche:
a) $x_1^2-2x_1x_3+x_2^2+x_3^2$ definita su $RR^3$
b) $x_1x_4-8x_1x_3+4x_2x_3-2x_3x_4$ definita su $RR^4$
mi potete dire se sono giuste queste due forme canoniche:
a) $x_1^2+x_2^2$
b) $x_1^2-25x_2^2-600x_3^2$
Confido in voi per schiarirmi le idee su questi piccoli dubbi. Aspetto vostre idee, suggerimenti o risposte che possano aiutarmi.
Risposte
Per la 2) basta vedere se la matrice che la rappresenta è simmetrica!
Quanto alle altre son di fretta, rispondo dopo se non l'ha fatto nessuno ancora!
Quanto alle altre son di fretta, rispondo dopo se non l'ha fatto nessuno ancora!
per la 3) Se ti riferisci alla forma di Sylvester credo proprio di no, in quanto questa è del tipo $x_1^2+...x_p^2-x_(p+1)^2-...-x_r^2$ dove $r$ è il rango della forma quadratica. Ricontrolla i calcoli, se son giusti ti basta dividere per $sqrt(q(v_i))$ per ottenere la forma canonica
"mistake89":
per la 3) Se ti riferisci alla forma di Sylvester credo proprio di no, in quanto questa è del tipo $x_1^2+...x_p^2-x_(p+1)^2-...-x_r^2$ dove $r$ è il rango della forma quadratica. Ricontrolla i calcoli, se son giusti ti basta dividere per $sqrt(q(v_i))$ per ottenere la forma canonica
si si lo so che la forma di Sylvester è così ma a me serve la forma canonica senza bisogno di ricondurla a quella di Sylvester. Comunque se dovessi ricavarmi la forma canonica secondo il teorema di Sylvester avrei:
$x_1=y_1$, $x_2=(1/sqrt25)y_2$, $x_3=(1/sqrt600)y_3$ e quindi ho la forma quadratica $y_1^2-y_2^2-y_3^2$
per la risposta al secondo dubbio, tu dici che per sapere se è definita positiva mi basta vedere se la matrice associata alla forma bilineare è simmetrica?
perdonami avevo letto male... non c'entra nulla la simmetria con l'essere definita positiva o no!
A parte guardare la segnatura non mi viene altro in mente di standard...
A parte guardare la segnatura non mi viene altro in mente di standard...
e se io mi trovo la matrice associata alla forma bilineare non c'è modo per sapere, a partire da questa, se è o meno definita positiva?
Io come ho scritto saprei anche spiegare perchè è definita positiva però dovrei usare la soluzione del quinto punto dell'esercizio e non penso sia corretto dato che mi si chiede di dimostrare che è definita positiva nel secondo punto del problema.
Nessuno ha altre idee? Se non sul secondo dubbio sugli altri almeno?
Io come ho scritto saprei anche spiegare perchè è definita positiva però dovrei usare la soluzione del quinto punto dell'esercizio e non penso sia corretto dato che mi si chiede di dimostrare che è definita positiva nel secondo punto del problema.
Nessuno ha altre idee? Se non sul secondo dubbio sugli altri almeno?
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