Dubbi sulle proprietà del complemento ortogonale.
Salve a tutti,
ho fatto un po' di confusione riguardo l'argomento del 'Complemento ortogonale'. Se si volesse dimostrare che dato uno spazio vettoriale euclideo V, esso è ottenibile dalla somma diretta di un suo qualsiasi sottospazio 'U' più il suo relativo complemento ortogonale, si osserverebbe innanzitutto che l'intersezione tra i due sottospazi contiene il solo vettore nullo. Fin qui tutto bene. Il passaggio successivo consiste nel considerare una base di 'r' vettori di U, dopodiché entra in gioco il metodo di Gram-Schimdt, per far sì che si costruisca una base ortonormale di V i cui primi 'r' vettori costituiscono una base ortonormale di U, mentre i restanti 'n - r' sono una base ortonormale del c.o. di U. Ecco i miei dubbi:
1. Perché se i primi r vettori di V sono una base di U, i restanti 'n - r' sono necessariamente una base del complemento ortogonale?
2. Il teorema in questione vuole dimostrare che dati due sottospazi che non contengono elementi in comune possono generare lo spazio da cui sono stati estratti?
Intuisco la banalità delle domande che forse vi pongo e ringrazio in anticipo per il tempo e la pazienza che ci metterete nel rispondere.
Saluti.
ho fatto un po' di confusione riguardo l'argomento del 'Complemento ortogonale'. Se si volesse dimostrare che dato uno spazio vettoriale euclideo V, esso è ottenibile dalla somma diretta di un suo qualsiasi sottospazio 'U' più il suo relativo complemento ortogonale, si osserverebbe innanzitutto che l'intersezione tra i due sottospazi contiene il solo vettore nullo. Fin qui tutto bene. Il passaggio successivo consiste nel considerare una base di 'r' vettori di U, dopodiché entra in gioco il metodo di Gram-Schimdt, per far sì che si costruisca una base ortonormale di V i cui primi 'r' vettori costituiscono una base ortonormale di U, mentre i restanti 'n - r' sono una base ortonormale del c.o. di U. Ecco i miei dubbi:
1. Perché se i primi r vettori di V sono una base di U, i restanti 'n - r' sono necessariamente una base del complemento ortogonale?
2. Il teorema in questione vuole dimostrare che dati due sottospazi che non contengono elementi in comune possono generare lo spazio da cui sono stati estratti?
Intuisco la banalità delle domande che forse vi pongo e ringrazio in anticipo per il tempo e la pazienza che ci metterete nel rispondere.
Saluti.
Risposte
Ciao. 
Inizio dalla seconda domanda:
Varie precisazioni: che non contengono elementi in comune è impossibile, e lo sai perché hai detto prima che il nullo deve esserci.
In generale direi di no, quel teorema vuole solo dire quel che dice, cioè che preso un sottospazio col suo complemento ortogonale, la loro somma diretta coincide con lo spazio.
Nota poi che la tua affermazione, detta così, è falsa.
Se prendi [tex]$\mathbb{R}3$[/tex], allora i sottospazi [tex]$<1,0,0>$[/tex] e [tex]$<0,1,0>$[/tex] hanno in comune solo il nullo, ma non generano affatto [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], non lo "riempiono".
E di contro, uno spazio può essere anche generato da due sottospazi aventi intersezione doversa dal vettore nullo.
[tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] è generato ad esempio dai due sottospazi
[tex]$U=\{ (x,y,z)|y=0 \}$[/tex]
[tex]$V=\{ (x,y,z)|x=y \}$[/tex], ma hanno in comune un sottospazio di dim1.
Insomma, quello che volevi dire tu è forse questo: se prendo due sottospazi, uno di dimensione $r$ e uno $n-r$, e non hanno vettori comuni salvo il vuoto, allora generano lo spazio di partenza.
Sì, questo è vero
Alla prima domanda semai rispondo domani (spero di ricordarmi), scusami.
Ciao.
Inizio dalla seconda domanda:
Il teorema in questione vuole dimostrare che dati due sottospazi che non contengono elementi in comune possono generare lo spazio da cui sono stati estratti?
Varie precisazioni: che non contengono elementi in comune è impossibile, e lo sai perché hai detto prima che il nullo deve esserci.
In generale direi di no, quel teorema vuole solo dire quel che dice, cioè che preso un sottospazio col suo complemento ortogonale, la loro somma diretta coincide con lo spazio.
Nota poi che la tua affermazione, detta così, è falsa.
Se prendi [tex]$\mathbb{R}3$[/tex], allora i sottospazi [tex]$<1,0,0>$[/tex] e [tex]$<0,1,0>$[/tex] hanno in comune solo il nullo, ma non generano affatto [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], non lo "riempiono".
E di contro, uno spazio può essere anche generato da due sottospazi aventi intersezione doversa dal vettore nullo.
[tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] è generato ad esempio dai due sottospazi
[tex]$U=\{ (x,y,z)|y=0 \}$[/tex]
[tex]$V=\{ (x,y,z)|x=y \}$[/tex], ma hanno in comune un sottospazio di dim1.
Insomma, quello che volevi dire tu è forse questo: se prendo due sottospazi, uno di dimensione $r$ e uno $n-r$, e non hanno vettori comuni salvo il vuoto, allora generano lo spazio di partenza.
Sì, questo è vero
Alla prima domanda semai rispondo domani (spero di ricordarmi), scusami.
Ciao.
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