Dubbi sulla risoluzione di un esercizio!
salve ho un dubbio su ciò che devo fare in questo compito!
Determinare :
1) il piano passante per P(0,1,2) ed ortogonale alla retta di equazione r:{x-y=0,y=z-2
2) il piano passante per P(0,1,2) e parallelo alla retta di equazione r:{x-y=0,y=z-2
3) il piano passante per P(0,1,2) e parallelo al piano di equazione a:x-3y+z=0
4) il piano passante per P(0,1,2) ed ortogonale al piano di equazione a:x-3y+z=0
non so proprio cosa fare potete farmi un esempio magari facendomi vedere lo svolgimento del primo punto!?
Grazie in anticipo!
Determinare :
1) il piano passante per P(0,1,2) ed ortogonale alla retta di equazione r:{x-y=0,y=z-2
2) il piano passante per P(0,1,2) e parallelo alla retta di equazione r:{x-y=0,y=z-2
3) il piano passante per P(0,1,2) e parallelo al piano di equazione a:x-3y+z=0
4) il piano passante per P(0,1,2) ed ortogonale al piano di equazione a:x-3y+z=0
non so proprio cosa fare potete farmi un esempio magari facendomi vedere lo svolgimento del primo punto!?
Grazie in anticipo!
Risposte
1)Se ricordo bene, l'equazione del piano e' $ ax+by+cz+d=0 $, con (a, b, c) un vettore normale al piano, per cui va benissimo il vettore direzionale di r (se ho fatto bene i conti, dovrebbe essere (1, 1, 1)). $ d $ lo determini imponendo il passaggio per P.
Un piano può essere rappresentato attraverso due equazioni: una cartesiana l'altra parametrica.
L'equazione cartesiana di un generico piano è del tipo: $ ax+by+cz+d=0 $ dove $ (a,b,c) $ rappresenta un vettore ortogonale al piano.
Comunque passando al primo punto hai che la retta è parallela al vettore dato da $ (i-j)^^(j-k)=i+j+k $ quindi dovendo essere (per esercizio) il piano ortogonale alla retta, la normale al piano sarà proprio data dal vettore $ i+j+k $. A questo punto ti sei ricondotto alla seguente forma $ x+y+z+d=0 $, e l'unica cosa che devi trovare è $ d $ cioè devi imporre il passaggio per un punto (nel tuo caso $ (0,1,2) $, dunque $ d=-3 $.
L'equazione del piano è quindi: $ x+y+z-3=0 $.
L'equazione cartesiana di un generico piano è del tipo: $ ax+by+cz+d=0 $ dove $ (a,b,c) $ rappresenta un vettore ortogonale al piano.
Comunque passando al primo punto hai che la retta è parallela al vettore dato da $ (i-j)^^(j-k)=i+j+k $ quindi dovendo essere (per esercizio) il piano ortogonale alla retta, la normale al piano sarà proprio data dal vettore $ i+j+k $. A questo punto ti sei ricondotto alla seguente forma $ x+y+z+d=0 $, e l'unica cosa che devi trovare è $ d $ cioè devi imporre il passaggio per un punto (nel tuo caso $ (0,1,2) $, dunque $ d=-3 $.
L'equazione del piano è quindi: $ x+y+z-3=0 $.
1)Imponi che il piano passi per $P$: $a(x-0)+b(y-1)+c(z-2)=0$ , poi imponi che sia ortogonale alla retta $r:{(x-y=0),(y=z-2):}$, che scritta in forma parametrica (lascio a te i calcoli) diventa: ${ ( x=t ),( y=t ),(z=t+2):}$, con $t$ parametro. Quindi per essere ortogonale, il vettore ortogonale al piano, ossia $( (a),(b),(c))=((1),(1),(1))$. Quindi il piano cercato è:
$(x-0)+(y-1)+(z-2)=0=>x+y-1+z-2=0=>x+y+z-3=0$
2) Non ho idea di come risolverla
3)Il piano cercato dev'essere tale che il suo vettore normale sia parallelo al vettore normale a $x-3y+z=0$ e passante per $P$, quindi: $1(x-0)+(-3)(y-1)+1(z-2)=0=>...=>x-3y+z+1=0$
4)Come prima ma questa volta il vettore normale al piano cercato dev'essere ortogonale al vettore normale a $x-3y+z=0$, quindi:
$((a),(b),(c))\cdot((1),(-3),(1))=0=>a-3b+c=0$, quindi ad esempio, con ${(a=3),(b=1),(c=0):}$, si ottiene il piano $3x-y+1=0$ .
$(x-0)+(y-1)+(z-2)=0=>x+y-1+z-2=0=>x+y+z-3=0$
2) Non ho idea di come risolverla
3)Il piano cercato dev'essere tale che il suo vettore normale sia parallelo al vettore normale a $x-3y+z=0$ e passante per $P$, quindi: $1(x-0)+(-3)(y-1)+1(z-2)=0=>...=>x-3y+z+1=0$
4)Come prima ma questa volta il vettore normale al piano cercato dev'essere ortogonale al vettore normale a $x-3y+z=0$, quindi:
$((a),(b),(c))\cdot((1),(-3),(1))=0=>a-3b+c=0$, quindi ad esempio, con ${(a=3),(b=1),(c=0):}$, si ottiene il piano $3x-y+1=0$ .
Per il secondo puoi procedere nel seguente modo:
Dovendo essere il piano che cerchi parallelo alla retta e passante per (0,1,2) puoi subito immaginarti che non ci sarà un solo che piano che soddisfa tale richiesta.
Comunque il tuo piano dovendo essere parallelo alla retta avrà la normale ortogonale alla retta dunque $ (a,b,c)*(1,1,1)=0 $ da cui ottieni $ c=-(a+b) $. Ora hai che l'equazione del tuo piano è del tipo: $ ax+by-(a+b)z+d=0 $ imponendo ancora una volta il passaggio per (0,1,2) ottieni che $ d=b+2a $. Infine ottieni l'equazione desiderata che è: $ ax+by-(a+b)z+(b+2a)=0 $.
Dovendo essere il piano che cerchi parallelo alla retta e passante per (0,1,2) puoi subito immaginarti che non ci sarà un solo che piano che soddisfa tale richiesta.
Comunque il tuo piano dovendo essere parallelo alla retta avrà la normale ortogonale alla retta dunque $ (a,b,c)*(1,1,1)=0 $ da cui ottieni $ c=-(a+b) $. Ora hai che l'equazione del tuo piano è del tipo: $ ax+by-(a+b)z+d=0 $ imponendo ancora una volta il passaggio per (0,1,2) ottieni che $ d=b+2a $. Infine ottieni l'equazione desiderata che è: $ ax+by-(a+b)z+(b+2a)=0 $.
grazie a tutti e scusate per il ritardo!
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