Dubbi sulla dimensione di un'applicazione lineare
Salve a tutti,
cercando di elaborare un esempio sul libro per fare delle verifiche, sono giunto ad un punto che mi semina un po' di dubbi.
$T((x),(y),(z)) = |(x-y),(2y-2x),(z)|$ èun'applicazione lineare, della quale però il libro non esplicita immediatamente le dimensioni, ci arriva solo dopo un po' di passaggi, che mi tornano.
A primo occhio lo spazio di partenza è $RR^3$, difatti $kerT = Span((1),(1),(0))$ e $ImT = Span|(1,-1,0),(-2,2,0),(0,0,1)|$, applicando la definizione alla base canonica. Il rango dell'immagine però è $2$, si vede chiaramente che il secondo vettore è superfluo. Fino a qui, ripeto, tutto torna con le considerazioni del libro, quindi deduco che l'applicazione proposta è del tipo
$T : RR^3 \to RR^2$
Allora mi sono detto "vabbè, verifichiamo con un vettore qualsiasi". Allora ho preso un vettore a caso $v = ((2),(3),(1)) \in RR^3$, gli ho applicato la definizione e... sorpresa! Finisce ancora in $RR^3$, infatti $T(v) = ((-1),(2),(1))$... allora mi chiedo: l'applicazione non dovrebbe mandare qualsiasi vettore dallo spazio di partenza a quello di arrivo o non ci ho capito nulla? Cosa mi sfugge?
Grazie in anticipo,
Davide.
cercando di elaborare un esempio sul libro per fare delle verifiche, sono giunto ad un punto che mi semina un po' di dubbi.
$T((x),(y),(z)) = |(x-y),(2y-2x),(z)|$ èun'applicazione lineare, della quale però il libro non esplicita immediatamente le dimensioni, ci arriva solo dopo un po' di passaggi, che mi tornano.
A primo occhio lo spazio di partenza è $RR^3$, difatti $kerT = Span((1),(1),(0))$ e $ImT = Span|(1,-1,0),(-2,2,0),(0,0,1)|$, applicando la definizione alla base canonica. Il rango dell'immagine però è $2$, si vede chiaramente che il secondo vettore è superfluo. Fino a qui, ripeto, tutto torna con le considerazioni del libro, quindi deduco che l'applicazione proposta è del tipo
$T : RR^3 \to RR^2$
Allora mi sono detto "vabbè, verifichiamo con un vettore qualsiasi". Allora ho preso un vettore a caso $v = ((2),(3),(1)) \in RR^3$, gli ho applicato la definizione e... sorpresa! Finisce ancora in $RR^3$, infatti $T(v) = ((-1),(2),(1))$... allora mi chiedo: l'applicazione non dovrebbe mandare qualsiasi vettore dallo spazio di partenza a quello di arrivo o non ci ho capito nulla? Cosa mi sfugge?
Grazie in anticipo,
Davide.
Risposte
Ciao!
La tua $f$ va da $RR^3$ a $RR^3$.
Probabilmente confondi codominio e immagine.
Il fatto che l'immagine abbia dimensione $2$ non c'entra col fatto che il codominio ha dimensione $3$.
Una funzione $f$ è fornita insieme a dominio $A$ e codominio $B$, e si indica con $f:A to B$. In generale $f(A)={f(a):\ a in A}$ è diverso da $B$.
La tua $f$ va da $RR^3$ a $RR^3$.
Probabilmente confondi codominio e immagine.
Il fatto che l'immagine abbia dimensione $2$ non c'entra col fatto che il codominio ha dimensione $3$.
Una funzione $f$ è fornita insieme a dominio $A$ e codominio $B$, e si indica con $f:A to B$. In generale $f(A)={f(a):\ a in A}$ è diverso da $B$.
Ciao Martino,
come dici tu ho fatto confusione tra codominio e immagine... l'immagine è inclusa nel codominio e - aggiungo, correggetemi se sbaglio - ha la stessa dimensione solo quando la funzione è suriettiva.
Grazie!
come dici tu ho fatto confusione tra codominio e immagine... l'immagine è inclusa nel codominio e - aggiungo, correggetemi se sbaglio - ha la stessa dimensione solo quando la funzione è suriettiva.
Grazie!
"DavideV":Esatto, prego!
l'immagine è inclusa nel codominio e - aggiungo, correggetemi se sbaglio - ha la stessa dimensione solo quando la funzione è suriettiva.
Grazie!
Meno male và, comincio a capirci qualcosa 
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