Dubbi sulla determinazione di Kerf e Imf

[Foxang]

Ho molti dubbi sulla correttezza del mio svolgimento (immagine allegata) perché l'ex docente del mio corso sosteneva che fosse completamente errato (e quindi dovevo sempre rifare lo scritto )
Voglio capire cosa sbaglio, magari se qualcuno può avere la pazienza di spiegarmi come dovrei svolgere l'esercizio o almeno se qualcuno può passarmi la teoria necessaria per colmare le mie lacune.
(Lo chiedo a voi perché la mia nuova docente non è mai reperibile)
Grazie mille in anticipo

[giuscri]

Scusa, come e' stata costruita la matrice associata all'applicazione?

Sia \(E = \{\underline{e}_1,\underline{e}_2,\underline{e}_3\}\). La matrice associata ad \(f\) rispetto alla base \(E\) mi pare sia piuttosto
\[\mathfrak{M}_{E} = \begin{bmatrix} F_E \circ f\,\underline{e}_1 & F_E \circ f\,\underline{e}_2 & F_E \circ f\,\underline{e}_3 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\]
dove \(F_E\) e' l'applicazione lineare che ad un qualsiasi vettore associa le sue coordinate rispetto alla base \(E\).

Ti accorgi che per un pelo non hai che la terza colonna e' combinazione lineare delle altre due. Ma e' calcolando il determinante -che appunto non e' singolare- che riesci ad essere sicuro che il rango sia massimo (cioe' \(3\)).

Per il primo teorema d'isomorfismo si ha che:
\[ \dim{\ker(f)} = \dim{\mathbb{R}^3} - \operatorname{rank}(A) = 0\]

E in effetti, risolvendo \(A\underline{x} = \underline{0}\) trovi che il nucleo e' generato dal solo vettore nullo.

EDIT: comunque sono `curioso' di sapere in che modo hai tirato fuori quella matrice. Anche per capire dove puo' stare l'errore.
EDIT-EDIT: ok. Ho capito cos'hai fatto. Guarda qui, da pagina 11 in poi. Altrimenti prova a dare un'occhiata alle `nostre' dispense che ha scritto Sergio (Algebra lineare for dummies). Le trovi in bacheca.