Dubbi sui gruppi fondamentali
Ciao a tutti, scusatemi ma ho un paio di dubbi sui gruppi fondamentali.
Consideriamo l'unione di due coni: $X = {x^2+y^2 = z^2, z \in [-1,1]}$
1) Mi confermate che lo spazio $X$ è contraibile? Direi che sicuramente $\pi_1(X) = {1}$ in quanto ogni cammino chiuso lo riesco a contrarre ad un punto, mandandolo sull'origine, inoltre mi verrebbe proprio da dire che $X$ è contraibile in quanto riesco a mandare tutti i punti su $(0,0,0)$, considerando la retta che congiunge un punto $p \in X$ all'origine.
2) Se consideriamo invece un cono $X\cap {z \ge 0}$ a cui tolgo un punto, questo ha gruppo fondamentale $\ZZ$? Intuitivamente mi verrebbe da pensare così, poiché diciamo che se prendo un cono, questo lo posso "aprire" in modo che mi venga un cerchio pieno, dunque il cono tolto un punto è come un cerchio tolto un punto, che dà un $S^1$.
E' un ragionamento corretto?
Consideriamo l'unione di due coni: $X = {x^2+y^2 = z^2, z \in [-1,1]}$
1) Mi confermate che lo spazio $X$ è contraibile? Direi che sicuramente $\pi_1(X) = {1}$ in quanto ogni cammino chiuso lo riesco a contrarre ad un punto, mandandolo sull'origine, inoltre mi verrebbe proprio da dire che $X$ è contraibile in quanto riesco a mandare tutti i punti su $(0,0,0)$, considerando la retta che congiunge un punto $p \in X$ all'origine.
2) Se consideriamo invece un cono $X\cap {z \ge 0}$ a cui tolgo un punto, questo ha gruppo fondamentale $\ZZ$? Intuitivamente mi verrebbe da pensare così, poiché diciamo che se prendo un cono, questo lo posso "aprire" in modo che mi venga un cerchio pieno, dunque il cono tolto un punto è come un cerchio tolto un punto, che dà un $S^1$.
E' un ragionamento corretto?
Risposte
1. Un cono (chiuso) è omeomorfo a un disco (chiuso);
2. Un cono bucato è omotopicamente equivalente a un $S^1$.
In entrambi i casi, se sei all'inizio come sembra, è utile trovare una equivalenza omotopica esplicita nel secondo caso, e un omeomorfismo nel primo.
2. Un cono bucato è omotopicamente equivalente a un $S^1$.
In entrambi i casi, se sei all'inizio come sembra, è utile trovare una equivalenza omotopica esplicita nel secondo caso, e un omeomorfismo nel primo.
@megas_archon grazie mille
No, non sono all'inizio, anzi il mio esame di topologia l'ho già dato con grande successo diversi anni fa.
Il punto è che, andando avanti, non ho mai più avuto occasione di incontrare questi argomenti, per cui ora che li sto riprendendo in mano, a volte mi assalgono un po' di dubbi
No, non sono all'inizio, anzi il mio esame di topologia l'ho già dato con grande successo diversi anni fa.
Il punto è che, andando avanti, non ho mai più avuto occasione di incontrare questi argomenti, per cui ora che li sto riprendendo in mano, a volte mi assalgono un po' di dubbi
"megas_archon":Sottoscrivo in toto!
...è utile trovare una equivalenza omotopica esplicita nel secondo caso, e un omeomorfismo nel primo.
Suggerimento: algebra lineare...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo