Dubbi su un paio di esercizi Geometria
Ciao a tutti sono nuovo, spero di trovarmi bene qui 
vengo subito al dunque... ho un paio di dubbi su esercizi di geometria.. per la verità il dubbio è uno solo: in pratica non ho la minima idea su cosa fare in esercizi del tipo: trovare la retta del piano alfa parallela/ortogonale/ortogonale ed incidente ad un altra retta. In generale non so proprio fare quelli con "trovare la retta del piano xxxx"
per esempio:
dritte su questo genere di esercizi? so per certo che uno dei due piani, la cui intersezione da la retta, è quello dove deve trovarsi la retta, la per trovare l'altro piano non saprei cosa fare!
vengo subito al dunque... ho un paio di dubbi su esercizi di geometria.. per la verità il dubbio è uno solo: in pratica non ho la minima idea su cosa fare in esercizi del tipo: trovare la retta del piano alfa parallela/ortogonale/ortogonale ed incidente ad un altra retta. In generale non so proprio fare quelli con "trovare la retta del piano xxxx"
per esempio:
dritte su questo genere di esercizi? so per certo che uno dei due piani, la cui intersezione da la retta, è quello dove deve trovarsi la retta, la per trovare l'altro piano non saprei cosa fare!
Risposte
Ti do qualche indicazione "guida" che ti sarà utile nei problemi che risolverai in $R^3$.
1. Ricorda sempre che ogni spazio affine viene individuato da dei vettori. Il numero di questi vettori è la dimensione dello spazio affine (per esser precisi dello spazio vettoriale legato allo spazio affine).
In $R^3$ la retta ha dimensione 1 (è individuata da un vettore) e il piano ha dimensione 2 (2 vettori).
2. Ogni spazio affine è descritto da un sistema di equazioni. Ci sono 2 modi di presentare queste equazioni: cartesiano e parametrico.
Se $n$ è la dimensione del tuo spazio affine, esso sarà descritto da $3 - n$ equazioni cartesiane.
Le equazioni parametriche invece sono sempre 3. Queste ultime sono utili per trovare i vettori di cui parlavo al punto 1.
Passare da eq. parametriche a cartesiane
Basta eliminare i parametri (risolvi il sistema rispetto ai parametri).
Es.
$x = 3k_1 + k_2$
$y = - k_1$
$z = k_2$
I vettori che individuano questo spazio affine li trovo osservando i coefficienti di $k_1, k_2$.
Coeff. $k_1$ : $(3, -1, 0)$
Coeff. $k_2$ : $(1, 0, 1)$
I vettori sono linearmente indipendenti, allora lo spazio affine ha dimensione 2 (è un piano). Ricaviamo le eq cartesiane:
$x = 3(-y) + z$
$y = - k_1$
$z = k_2$
Nella prima equazione ho eliminato i parametri, dunque l'equazione cartesiana del piano è $x + 3y - z = 0$.
Passare da eq. cartesiane a parametriche
Si guarda la dimensione dello spazio affine (fai 3 - numero eq. cartesiane). Questo ti dice quanti parametri dovrai introdurre (numero parametri = numero vettori che individuano lo spazio = dimensione spazio).
Es.
$x + 4y = 0$
$z = 1$
Dimensione spazio affine: 3-2=1 (retta). Devo introdurre un solo parametro $k_1$.
La z la lascio stare perchè sarà sempre uguale a 1, non gliene importa di cosa saranno x e y. La dipendenza è tra x e y, quindi pongo $x=k_1$, lasciandola diciamo libera di variare. A questo punto $y$ varierà sulla base di come varia x e precisamente avrò $y = - 1/4 k_1$
In altre parole:
$x= k_1$
$4y = - x \Rightarrow y= -k_1 /4$
$z = 1$
Es.
$3x - y +z = 5$
Dimensione spazio: 3-1=2 (piano). Avrò due parametri $k_1 , k_2$.
Allora vorrà dire che 2 incognite saranno libere di variare mentre la terza sarà vincolata.
Quindi scelgo di porre $x=k_1 , y=k_2$ e ottengo
$x = k_1$
$y = k_2$
$3k_1 - k_2 + z = 5 \Rightarrow z= -3k_1 + k_2 +5$
2bis. Se hai i vettori che generano uno spazio affine e un punto per cui passa lo puoi individuare tramite equazioni parametriche.
Es. Scrivere le equazioni del piano passante per $P (1, 2, 0)$ e generato dai vettori $(1, 0, 0) , (2, 0, 5)$. 2 vettori allora 2 parametri.
Si fa così:
$x = 1k_1 +2k_2 + 1$
$y = 0k_1 + 0k_2 + 2$
$z = 0k_1 + 5k_2 +0$
cioè
$x = k_1 + 2k_2 +1$
$y = 2$
$z = 5k_2$
Come vedi ho messo come coefficienti di $k_1$ le componenti del vettore 1, come coefficienti di $k_2$ le componenti del vettore 2 e come termini noti ho messo le componenti del punto P.
3. Questa è utile: se tu hai l'equazione di un piano in nella forma $ax + by +cz + d =0$ sappi che il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare a questo piano.
L'ultimo consiglio è di cercare sempre di fare uno sforzo di immaginazione... Può aiutarti a capire se ciò che stai cercando è unico e come magari procedere...
Riprova dopo ciò che ti ho detto a risolvere gli esercizi che hai postato, se ancora non ci riesci postiamo la soluzione!
Paola
1. Ricorda sempre che ogni spazio affine viene individuato da dei vettori. Il numero di questi vettori è la dimensione dello spazio affine (per esser precisi dello spazio vettoriale legato allo spazio affine).
In $R^3$ la retta ha dimensione 1 (è individuata da un vettore) e il piano ha dimensione 2 (2 vettori).
2. Ogni spazio affine è descritto da un sistema di equazioni. Ci sono 2 modi di presentare queste equazioni: cartesiano e parametrico.
Se $n$ è la dimensione del tuo spazio affine, esso sarà descritto da $3 - n$ equazioni cartesiane.
Le equazioni parametriche invece sono sempre 3. Queste ultime sono utili per trovare i vettori di cui parlavo al punto 1.
Passare da eq. parametriche a cartesiane
Basta eliminare i parametri (risolvi il sistema rispetto ai parametri).
Es.
$x = 3k_1 + k_2$
$y = - k_1$
$z = k_2$
I vettori che individuano questo spazio affine li trovo osservando i coefficienti di $k_1, k_2$.
Coeff. $k_1$ : $(3, -1, 0)$
Coeff. $k_2$ : $(1, 0, 1)$
I vettori sono linearmente indipendenti, allora lo spazio affine ha dimensione 2 (è un piano). Ricaviamo le eq cartesiane:
$x = 3(-y) + z$
$y = - k_1$
$z = k_2$
Nella prima equazione ho eliminato i parametri, dunque l'equazione cartesiana del piano è $x + 3y - z = 0$.
Passare da eq. cartesiane a parametriche
Si guarda la dimensione dello spazio affine (fai 3 - numero eq. cartesiane). Questo ti dice quanti parametri dovrai introdurre (numero parametri = numero vettori che individuano lo spazio = dimensione spazio).
Es.
$x + 4y = 0$
$z = 1$
Dimensione spazio affine: 3-2=1 (retta). Devo introdurre un solo parametro $k_1$.
La z la lascio stare perchè sarà sempre uguale a 1, non gliene importa di cosa saranno x e y. La dipendenza è tra x e y, quindi pongo $x=k_1$, lasciandola diciamo libera di variare. A questo punto $y$ varierà sulla base di come varia x e precisamente avrò $y = - 1/4 k_1$
In altre parole:
$x= k_1$
$4y = - x \Rightarrow y= -k_1 /4$
$z = 1$
Es.
$3x - y +z = 5$
Dimensione spazio: 3-1=2 (piano). Avrò due parametri $k_1 , k_2$.
Allora vorrà dire che 2 incognite saranno libere di variare mentre la terza sarà vincolata.
Quindi scelgo di porre $x=k_1 , y=k_2$ e ottengo
$x = k_1$
$y = k_2$
$3k_1 - k_2 + z = 5 \Rightarrow z= -3k_1 + k_2 +5$
2bis. Se hai i vettori che generano uno spazio affine e un punto per cui passa lo puoi individuare tramite equazioni parametriche.
Es. Scrivere le equazioni del piano passante per $P (1, 2, 0)$ e generato dai vettori $(1, 0, 0) , (2, 0, 5)$. 2 vettori allora 2 parametri.
Si fa così:
$x = 1k_1 +2k_2 + 1$
$y = 0k_1 + 0k_2 + 2$
$z = 0k_1 + 5k_2 +0$
cioè
$x = k_1 + 2k_2 +1$
$y = 2$
$z = 5k_2$
Come vedi ho messo come coefficienti di $k_1$ le componenti del vettore 1, come coefficienti di $k_2$ le componenti del vettore 2 e come termini noti ho messo le componenti del punto P.
3. Questa è utile: se tu hai l'equazione di un piano in nella forma $ax + by +cz + d =0$ sappi che il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare a questo piano.
L'ultimo consiglio è di cercare sempre di fare uno sforzo di immaginazione... Può aiutarti a capire se ciò che stai cercando è unico e come magari procedere...
Riprova dopo ciò che ti ho detto a risolvere gli esercizi che hai postato, se ancora non ci riesci postiamo la soluzione!
Paola
innanzi tutto grazie per il ripasso, ma gli esercizi di geometria li so fare piu o meno tutti tranne quelli di questa tipologia, che tra l'altro capitano raramente. So che la retta si trova sul piano alfa, quindi uno dei due piani è il piano alfa stesso ma l'altro piano non saprei trovarlo, non perchè mi manchino basi di teoria perchè gli altri li so fare, ma non so precisamente cosa fare di teorico 
per esempio ho pensato di trovare il punto di intersezione tra il piano e la retta, e di fare il piano passante per quel punto ortogonale, ma... non mi trovo
per esempio ho pensato di trovare il punto di intersezione tra il piano e la retta, e di fare il piano passante per quel punto ortogonale, ma... non mi trovo
Allora, risolvo il primo esercizio.
Dato che la retta r ha vettore di direzione $(1,0,1)$, il generico piano ortogonale ad essa sarà (vedi l'ultimo punto del "ripasso" ):
$ 1x + 0y +1z = k$ cioè $x + z = k$ con $k \in R$.
Quindi la retta s che stiamo cercando apparterrà a questo piano per un certo $k$.
Appartenendo s ad $\alfa$, inoltre, possiamo scrivere le eq. di s:
$x + z = k$
$2x+y+z = 0$
Infine usiamo il fatto che s passa per 0, ottenendo $k=0$.
Cioè s:
$x + z = 0$
$2x+y+z = 0$
Paola
Dato che la retta r ha vettore di direzione $(1,0,1)$, il generico piano ortogonale ad essa sarà (vedi l'ultimo punto del "ripasso"
):$ 1x + 0y +1z = k$ cioè $x + z = k$ con $k \in R$.
Quindi la retta s che stiamo cercando apparterrà a questo piano per un certo $k$.
Appartenendo s ad $\alfa$, inoltre, possiamo scrivere le eq. di s:
$x + z = k$
$2x+y+z = 0$
Infine usiamo il fatto che s passa per 0, ottenendo $k=0$.
Cioè s:
$x + z = 0$
$2x+y+z = 0$
Paola
Ecco il secondo problema.
$r$ passa per i punti A e B: facendo la differenza tra le loro coordinate trovo il vettore di direzione di $r$, cioè $(1,-1,-1)$
e così posso trovare le eq. di $r$, usando il vettore e le coordinate del punto B:
$x = k$
$y = -k$
$z = -k -2$
dunque
$x + y = 0$
$z - y = -2$
Il generico piano ortogonale ad $r$ sarà $x -y -z =k$ con $k \in R$.
Allora la retta $s$ che andiamo cercando avrà equazioni
$x -y -z =k$
$x +5z +2$
Ora bisogna usare l'ultima informazione che sappiamo, cioè che $r, s$ si incontrano in un punto.
Se metti a sistema le eq. delle due rette e risolvi rispetto alle incognite $x, y, z, k$ trovi $k$.
Paola
$r$ passa per i punti A e B: facendo la differenza tra le loro coordinate trovo il vettore di direzione di $r$, cioè $(1,-1,-1)$
e così posso trovare le eq. di $r$, usando il vettore e le coordinate del punto B:
$x = k$
$y = -k$
$z = -k -2$
dunque
$x + y = 0$
$z - y = -2$
Il generico piano ortogonale ad $r$ sarà $x -y -z =k$ con $k \in R$.
Allora la retta $s$ che andiamo cercando avrà equazioni
$x -y -z =k$
$x +5z +2$
Ora bisogna usare l'ultima informazione che sappiamo, cioè che $r, s$ si incontrano in un punto.
Se metti a sistema le eq. delle due rette e risolvi rispetto alle incognite $x, y, z, k$ trovi $k$.
Paola
grazie mille!
sbagliavo a fare il secondo piano, non so perchè lo facevo ortogonale al piano a cui apparteneva la retta
sbagliavo a fare il secondo piano, non so perchè lo facevo ortogonale al piano a cui apparteneva la retta
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