Dubbi su Nuclei e Basi
Hola a tutti!
Sono uno studente di ingegneria, e dovrei dare l'esame di Algebra. Con la teoria, più o meno, ci siamo, ma spesso gli esercizi mi lasciano attonito. Non proprio attonito, ma quel tanto che basta a bloccarmi durante gli esercizi e, per induzione, all'esame...vabé, ciancio alle bande:
Un dubbio che ho riguarda il Nucleo (o Kernel): so come si calcola (ponendo $A*X=0$) ma ho un dubbio: una volta ottenuta la matrice ridotta, e quindi una volta ottenuto il rango e la dimensione, i vettori rimanenti costituiscono una base del Nucleo?
Esempio:
$f[(x,y,z,t)] = (2x+t, 3y-z, -6y+2z, x+t)$
La matrice associata al sistema è:
$((2,0,0,2),(0,3,-1,0),(0,-6,2,0),(2,0,0,2))$ è riducibile in $((1,0,0,1),(0,3,-1,0))$ scambiando la $IV$ con $I$, e facendo $III-2II$ e $IV-2I$. Questa matrice è di Rango = 2, determinante diverso da zero, dimensione = 2.
E qua mi blocco.
Poi? Si mette a sistema?
$\{(x+t=0),(3y-z=0):}$ che dà => $\{(t=i),(z=j),(x=-i),(y=j/3):}$
Ma questa soluzione non ha senso! E non credo sia affatto una base.
Per finire, un grazie infinite per l'attenzione concessami sino a questo punto, ed un grazie infinite per ogni aiuto!
Sono uno studente di ingegneria, e dovrei dare l'esame di Algebra. Con la teoria, più o meno, ci siamo, ma spesso gli esercizi mi lasciano attonito. Non proprio attonito, ma quel tanto che basta a bloccarmi durante gli esercizi e, per induzione, all'esame...vabé, ciancio alle bande:
Un dubbio che ho riguarda il Nucleo (o Kernel): so come si calcola (ponendo $A*X=0$) ma ho un dubbio: una volta ottenuta la matrice ridotta, e quindi una volta ottenuto il rango e la dimensione, i vettori rimanenti costituiscono una base del Nucleo?
Esempio:
$f[(x,y,z,t)] = (2x+t, 3y-z, -6y+2z, x+t)$
La matrice associata al sistema è:
$((2,0,0,2),(0,3,-1,0),(0,-6,2,0),(2,0,0,2))$ è riducibile in $((1,0,0,1),(0,3,-1,0))$ scambiando la $IV$ con $I$, e facendo $III-2II$ e $IV-2I$. Questa matrice è di Rango = 2, determinante diverso da zero, dimensione = 2.
E qua mi blocco.
Poi? Si mette a sistema?
$\{(x+t=0),(3y-z=0):}$ che dà => $\{(t=i),(z=j),(x=-i),(y=j/3):}$
Ma questa soluzione non ha senso! E non credo sia affatto una base.
Per finire, un grazie infinite per l'attenzione concessami sino a questo punto, ed un grazie infinite per ogni aiuto!
Risposte
"Dhelio":
Esempio:
$f[(x,y,z,t)] = (2x+t, 3y-z, -6y+2z, x+t)$
La matrice associata al sistema è:
$((2,0,0,2),(0,3,-1,0),(0,-6,2,0),(2,0,0,2))$
A me sembra che la matrice del sistema sia
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -6 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
che ha rango \( 3 \), dunque il sistema ha \( \infty^1 \) soluzioni e la dimensione di \( \ker\, f \) è allora \( 1 \).
Le soluzioni le trovi con la matrice ridotta, oppure risolvendo direttamente il sistema, che tanto è di semplice risoluzione.
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