Dubbi su matrice associata

[nrsgzz]

Salve a tutti.
Sto facendo degli esercizi per il corso di geometria ma non sono riuscito a capire bene quale concetto ci sia dietro la matrice associata e soprattutto (come nel caso dell'esercizio) come si possa risalire alla trasformazione lineare partendo dalla matrice associata:


Non riesco a spiegarmi che relazione ci sia tra la matrice associata risultante e la matrice rispetto a cui è stata associata
Grazie a tutti quelli che mi daranno una mano!
Andrea

[miuemia]

ricorda che le colonne di $A$ rappresentano i trasformati degli elementi della base. quindi è facile l'esercizio...

[nrsgzz]

Ok. Io procederei facendo il kernel come $Ker(f)={(x,y,z) in RR^3 => f(x,y,z)=(0,0,0)}$
però applicato alla MA:
${(x - z = 0),(-x + y = 0),(-x + 2y -z = 0):}$

ma viene che $Ker(f)=(0,0,0)$ e ovviamente non va bene!

[_prime_number]

Hai sbagliato i conti.. Se noti, l'ultima eq. del sistema è combinazione delle prime 2.

Paola

[nrsgzz]

"prime_number":Hai sbagliato i conti.. Se noti, l'ultima eq. del sistema è combinazione delle prime 2.

Paola

in effetti
Penso di aver risolto l'esercizio ma vorrei essere sicuro di non aver fatto grossi errori concettuali:

Il sistema diventa ${(x - z = 0),(-x + y = 0):}$
e ottengo che ${(x = z),(y = x):}$

quindi la soluzione del sistema è $(x,x,x)$ e le componenti del kernel rispetto a B sono $L((1,1,1))$

Per trovare il vero nucleo faccio $Ker(f)=1*(1,0,1)+1*(1,0,0)+1*(0,1,1)$ che fa $Ker(f)=(2,1,2)$ e posso facilmente ricavare che $dim(Ker(f))=1$ e $dim(Im(f))=2$
Per trovare poi le componenti dell'immagine rispetto a B prendo i due (determinati dalla dimensione) vettori formati dalle prime due colonne di A e li moltiplico per le componenti di B..

..giusto??

[_prime_number]

Esatto!

Paola