Dubbi su impostazioni esercizi Span
Salve a tutti. Sono uno studente di ingegneria meccanica e mi sto sbattendo anima e corpo per l'esame di Algebra lineare.
Tra i primi argomenti trattati c'è spazio e sottospazio vettoriale.
Ho avuto modo di visionare la dispensa "algebra for dummies" che ho trovato più chiara rispetto ai libri di testo, ma nonostante riesca a capire e comprendere le definizioni di spazio/sottospazio vettoriale, base e dimensione del sottospazio, indipendenza lineare, combinazione lineare ecc, data anche la mia scarsa preparazione matematica (non ho fatto il liceo, ma l'istituto tecnico, specializzazione meccanica), mi trovo una voragine enorme che non mi fa sbloccare il passaggio dall'aspetto teorico a quello degli esercizi di algebra.
Come già detto, so che cos' è un sottospazio vettoriale (cioè un sottoinsieme dello spazio vettoriale dove ogni operazione (somma tra vettori, prodotto di vettore per scalare) da come risultato un elemento che fa ancora parte del sottoinsieme), ma se qualcuno, per esempio, dandomi i vettori:
a(2,4) b(1,2) c(-1,1) d(3,6)
mi chiede di stabilire se c e d(quindi dei vettori) appartengono allo span di ([a,b]), non so neanche da che parte partire.
Non sono stupido nè celebroleso, ma ho bisogno di un'impostazione chiara, in italiano magari, e non in "matematichese"
dove inizio a capire come devo ragionare in questo e negli altri esercizi di algebra lineare.
Dal canto mio, posso supporre da ignorante e profano che innanzi tutto dovrei provare a trovare lo span di ([a,b]). vorrei tutti i passaggi, senza dare per scontato nulla.
Dopodichè bisognerà vedere se c e d sono combinazione lineare (per appartenere allo span di ([a,b])).
Almeno questa è la mia idea. Rivoltatemi pure come un calzino
Grazie e spero di essere stato chiaro e non aver infranto regole.
Un altro esercizio sul quale vorrei discutere è : il sottospazio vettoriale W = span (1,3,0,-2), (4,1,2,-1),(6,7,2,-5)(-2,5,-2,-3) di R^4 che dimensione ha?
Tra i primi argomenti trattati c'è spazio e sottospazio vettoriale.
Ho avuto modo di visionare la dispensa "algebra for dummies" che ho trovato più chiara rispetto ai libri di testo, ma nonostante riesca a capire e comprendere le definizioni di spazio/sottospazio vettoriale, base e dimensione del sottospazio, indipendenza lineare, combinazione lineare ecc, data anche la mia scarsa preparazione matematica (non ho fatto il liceo, ma l'istituto tecnico, specializzazione meccanica), mi trovo una voragine enorme che non mi fa sbloccare il passaggio dall'aspetto teorico a quello degli esercizi di algebra.
Come già detto, so che cos' è un sottospazio vettoriale (cioè un sottoinsieme dello spazio vettoriale dove ogni operazione (somma tra vettori, prodotto di vettore per scalare) da come risultato un elemento che fa ancora parte del sottoinsieme), ma se qualcuno, per esempio, dandomi i vettori:
a(2,4) b(1,2) c(-1,1) d(3,6)
mi chiede di stabilire se c e d(quindi dei vettori) appartengono allo span di ([a,b]), non so neanche da che parte partire.
Non sono stupido nè celebroleso, ma ho bisogno di un'impostazione chiara, in italiano magari, e non in "matematichese"
dove inizio a capire come devo ragionare in questo e negli altri esercizi di algebra lineare.
Dal canto mio, posso supporre da ignorante e profano che innanzi tutto dovrei provare a trovare lo span di ([a,b]). vorrei tutti i passaggi, senza dare per scontato nulla.
Dopodichè bisognerà vedere se c e d sono combinazione lineare (per appartenere allo span di ([a,b])).
Almeno questa è la mia idea. Rivoltatemi pure come un calzino
Grazie e spero di essere stato chiaro e non aver infranto regole.
Un altro esercizio sul quale vorrei discutere è : il sottospazio vettoriale W = span (1,3,0,-2), (4,1,2,-1),(6,7,2,-5)(-2,5,-2,-3) di R^4 che dimensione ha?
Risposte
Intanto ti trovi lo spazio generato da $a$ e $b$:
$<((1),(2)) , ((2),(4))> = <((1),(2)) , 2((1),(2))> = <((1),(2))>$
Ora devi vedere se i vettori $c$ e $d$ appartengono allo spazio, cioè se sono combinazione lineare dei vettori dello spazio:
$c=((-1),(1)) = ((alpha),(2alpha)) => \{(alpha= -1),(1=-2):}$
Come vedi non è vero.
$d=((3),(6))= ((alpha),(2alpha)) => \{(alpha= 3),(6=6):}$
Il che è vero, quindi fa parte dello spazio generato.
Per capire la dimensione devi cercare una combinazione lineare che faccia zero :
$((alpha),(3alpha),(0),(-2alpha))+ ((4beta),(beta),(2beta),(-beta))+((6gamma),(7gamma),(2gamma),(-5gamma))+((-2delta),(5delta),(-2delta),(-3delta))=((0),(0),(0),(0))=>$
$\{(delta= - gamma),(alpha= 0),(beta=-2gamma), (0=0):}$
Questo mi dice che gli ultimi tre vettori sono tra loro dipendenti e quindi lo spazio ha dimensione 3.
$<((1),(2)) , ((2),(4))> = <((1),(2)) , 2((1),(2))> = <((1),(2))>$
Ora devi vedere se i vettori $c$ e $d$ appartengono allo spazio, cioè se sono combinazione lineare dei vettori dello spazio:
$c=((-1),(1)) = ((alpha),(2alpha)) => \{(alpha= -1),(1=-2):}$
Come vedi non è vero.
$d=((3),(6))= ((alpha),(2alpha)) => \{(alpha= 3),(6=6):}$
Il che è vero, quindi fa parte dello spazio generato.
Per capire la dimensione devi cercare una combinazione lineare che faccia zero :
$((alpha),(3alpha),(0),(-2alpha))+ ((4beta),(beta),(2beta),(-beta))+((6gamma),(7gamma),(2gamma),(-5gamma))+((-2delta),(5delta),(-2delta),(-3delta))=((0),(0),(0),(0))=>$
$\{(delta= - gamma),(alpha= 0),(beta=-2gamma), (0=0):}$
Questo mi dice che gli ultimi tre vettori sono tra loro dipendenti e quindi lo spazio ha dimensione 3.
Trovare lo span di $([ a, b ]) $ vuol dire determinare tutti i vettori che siano combinazione lineare dei vettori $a, b $.
Come dici sia $a = ( 2,4) : b=( 1,2 ) $ si vede che non sono lin indip questi vettori perchè uno è il doppio dell'altro.
Allora span di $([ a, b ]) $ = span di $ ([a]) $ oppure span di $([b*)$. OK ?
Quindi span di ... avrà dimensione 1 e sarà costituito da tutti i vettori del tipo : $ k ( 2,4) $ con $k in RR$.
In parole povere sono tutti i vettori che hanno la seconda componente doppia della prima.
Quindi $c $ NON appartiene allo span di ... mentre $d $ appartiene allo span di...
Se invece i vettori $a,b $ fossero stati lin indip allora lo span da essi creato avrebbe avuto dimensione 2 e chiamando $ w $ il generico elemnto da essi generato avresti che $w =ha +kb $ con $h,k in RR $ .
Se ad esempio fosse $a =(2,4);b=(1,3)$ prova a trovare il relativo span....; ricorda che $a,b $ sono vettori di $RR^2 $ sono lin indip e sono in quantità di 2 , quindi il loro span coincide con.........
Come dici sia $a = ( 2,4) : b=( 1,2 ) $ si vede che non sono lin indip questi vettori perchè uno è il doppio dell'altro.
Allora span di $([ a, b ]) $ = span di $ ([a]) $ oppure span di $([b*)$. OK ?
Quindi span di ... avrà dimensione 1 e sarà costituito da tutti i vettori del tipo : $ k ( 2,4) $ con $k in RR$.
In parole povere sono tutti i vettori che hanno la seconda componente doppia della prima.
Quindi $c $ NON appartiene allo span di ... mentre $d $ appartiene allo span di...
Se invece i vettori $a,b $ fossero stati lin indip allora lo span da essi creato avrebbe avuto dimensione 2 e chiamando $ w $ il generico elemnto da essi generato avresti che $w =ha +kb $ con $h,k in RR $ .
Se ad esempio fosse $a =(2,4);b=(1,3)$ prova a trovare il relativo span....; ricorda che $a,b $ sono vettori di $RR^2 $ sono lin indip e sono in quantità di 2 , quindi il loro span coincide con.........
Grazie ad entrambi, soprattutto a maci86 che mi ha fatto capire ogni passaggio, e ho compreso perfettamente.
Unico cruccio, nel secondo esercizio come ha fatto a tirare fuori i risultati di α, β e δ.
Cioè in pratica non ho capito se dopo aver messo le 4 incognite, devo fare un sistema di 4 eq.
che inizia con α+4β+6γ -2δ = 0
e così via, fino a che isolando ogni volta un'incognita, non trovo i risultati: lo chiedo perchè per 2 volte ho provato a risolvere il sistema, ma non mi vengono gli stessi risultati.
Un altro modo che mi è venuto in mente, è che dovendo verificare una combinazione lineare allo stesso modo di quando, nell'esercizio prima, chiedeva lo span,fare:
esempio del primo vettore: verrebbe α=1, 3=3, 0=0, -2=-2...
Ma da lì come si fa a trovare il risultato, cioè α=0?
In ogni caso aspetto delucidazioni. Grazie tante.
Unico cruccio, nel secondo esercizio come ha fatto a tirare fuori i risultati di α, β e δ.
Cioè in pratica non ho capito se dopo aver messo le 4 incognite, devo fare un sistema di 4 eq.
che inizia con α+4β+6γ -2δ = 0
e così via, fino a che isolando ogni volta un'incognita, non trovo i risultati: lo chiedo perchè per 2 volte ho provato a risolvere il sistema, ma non mi vengono gli stessi risultati.
Un altro modo che mi è venuto in mente, è che dovendo verificare una combinazione lineare allo stesso modo di quando, nell'esercizio prima, chiedeva lo span,fare:
esempio del primo vettore: verrebbe α=1, 3=3, 0=0, -2=-2...
Ma da lì come si fa a trovare il risultato, cioè α=0?
In ogni caso aspetto delucidazioni. Grazie tante.
Nel secondo caso ho fatto tutti i conti, sbagliati, perché son rinco 
Se vuoi te li scrivo :
Dalla terza riga trovo delta:
$2beta +2gamma -2delta=0 => delta=gamma+beta$
Alla prima riga tolgo la terza e trovo alpha:
$alpha +4 beta -2beta +6 gamma -2gamma -2 delta +2 delta=0=>alpha= -2beta -4gamma$
Dalla seconda trovo beta:
$3alpha+beta+7gamma +5delta=0 =>-6beta -12gamma + beta + 7gamma +5gamma +5beta=>0=0 $
Non riesco a trovarlo, provo con l'ultima:
$-2alpha -beta -5gamma -3delta=4 beta +8 gamma -beta -5gamma -3delta -3gamma=> 0=0$
Non riusciamo nemmeno qui, quindi avremo tutte le variabili in funzioni di gamma e beta, questo ci dice che lo spazio ha dimensione 2, chiedo ancora scusa per i conti, ora mi fustigo col cilicio
Se vuoi te li scrivo :Dalla terza riga trovo delta:
$2beta +2gamma -2delta=0 => delta=gamma+beta$
Alla prima riga tolgo la terza e trovo alpha:
$alpha +4 beta -2beta +6 gamma -2gamma -2 delta +2 delta=0=>alpha= -2beta -4gamma$
Dalla seconda trovo beta:
$3alpha+beta+7gamma +5delta=0 =>-6beta -12gamma + beta + 7gamma +5gamma +5beta=>0=0 $
Non riesco a trovarlo, provo con l'ultima:
$-2alpha -beta -5gamma -3delta=4 beta +8 gamma -beta -5gamma -3delta -3gamma=> 0=0$
Non riusciamo nemmeno qui, quindi avremo tutte le variabili in funzioni di gamma e beta, questo ci dice che lo spazio ha dimensione 2, chiedo ancora scusa per i conti, ora mi fustigo col cilicio
"Maci86":
Nel secondo caso ho fatto tutti i conti, sbagliati, perché son rinco
Dalla terza riga trovo delta:
$2beta +2gamma -2delta=0 => delta=gamma+beta$
Alla prima riga tolgo la terza e trovo alpha:
$alpha +4 beta -2beta +6 gamma -2gamma -2 delta +2 delta=0=>alpha= -2beta -4gamma$
Dalla seconda trovo beta:
$3alpha+beta+7gamma +5delta=0 =>-6beta -12gamma + beta + 7gamma +5gamma +5beta=>0=0 $
Non riesco a trovarlo, provo con l'ultima:
$-2alpha -beta -5gamma -3delta=4 beta +8 gamma -beta -5gamma -3delta -3gamma=> 0=0$
Non riusciamo nemmeno qui, quindi avremo tutte le variabili in funzioni di gamma e beta, questo ci dice che lo spazio ha dimensione 2, chiedo ancora scusa per i conti, ora mi fustigo col cilicio
correggetemi se sbaglio:
la dimensione è il numero di vettori di una base.
La base è a sua volta un insieme di vettori linearmente indipendenti
I vettori linearmente indipendenti sono quelli che non sono combinazione lineare di altri vettori
Per combinazione lineare si intende una sommatoria dei prodotti di tot vettori e tot scalari (detta in soldoni).
per farvi capire che ho capito (spero) a livello pratico, di esercizi, come funziona una combinazione lineare, vi faccio un esempio del cavolo: se voglio trovare una combinazione lineare per 50 cent, posso dire che 5 monete da 10 cent sono combinazione lineare dei 50 cent, perchè tramite un prodotto posso esprimere il valore 50 cent. Altresì posso affermare che 50 cent non sono combinazione lineare di 10 cent, perchè in nessun modo posso moltiplicare 50 cent con uno "scalare" tale che mi dia come risultato 10 cent. (giusto?)
posso in conclusione dire che la dimensione è il numero di vettori che non possono essere espressi da somma/prodotti di scalari e vettori appartenenti all'insieme.(giusto?)
Quindi, riferendomi all'esercizio preso in esame, che da come risultati:
α = - 2β - 4γ
δ = β + γ
0 = 0
0 = 0
I primi due risultati evidenziano 2 combinazioni lineari
gli ultimi 2 no. E sono quelli che ci fanno dire che la dimensione è 2, perchè come scritto sopra cercavamo vettori che NON possono essere espressi come combinazione lineare.
Fila il discorso?
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