Dubbi su due esercizi, help!

[anick1]

ho dei dubbi riguardo a due esercizi di Matematica Discreta. Se mi aiutate entro oggi, mi date un grosso aiuto.

Il primo è questo:
Testo:

Data l'applicazione lineare f: R^3-->R^3 rispetto alle basi canoniche, definita dalla legge

f(x,y,z)=(3x+y+kz,-y+z,(k+2)x+2z)

determinare al variare del parametro reale k, kerf, Imf, una loro base e le loro equazioni cartesiane.

PROCEDO:
la matrice associata è:
3 1 k
0 -1 1
k+2 0 2

il determinante è = k(k+3)-4

a)per k != 1 dimImf=3 e kerf=0
una base di imf(3,0,k+2),(1,-1,0),(k,1,2)

b) se k=1 allora la matrice diventa:
3 1 1
0 -1 1
3 0 2

riducendo per righe, come segue r3-->r3-r2 e poi r3-->r3-r1 ottengo:
3 1 1
0 -1 1
0 0 0

dimImf=2, una base è (1,-1,0),(1,1,0)
e le sue equazioni??

dimKerf=1 , basi ed equazioni??

[anick1]

Studiare,al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare

x-y-z-t=0
x-ky+t=1
z+2t=0

Procedo, anche qui è incompleto. Ditemi se è giusto.

la matrice dei coefficienti del sistema è:
1 -1 -1 -1
1 -k 0 1
0 0 1 2

riduzione per righe come segue:
r3-->r3+r1 ed r3-->r3-r2
ed ottengo:
1 -1 -1 1 |0
1 -k 0 1 |1
0 -1+k 0 0 |-1

per k =1
il sistema è impossibile

per k != 1
il sistema ammette quante soluzioni?

[anick1]

ok il secondo l'ho risolto. Mi aiutate per il primooo???

[Camillo]

Per il primo esercizio si ha che il determinante è $ne 0 $ se $k ne1,k ne-4$
In questo caso dim ker f = 0 e quindi ker f consta del solo vettore nullo ; di conseguenza dim im f = 3 e quindi l'immagine è $R ^3 $ ,una base è quindi data da $(e_1,e_2,e_3 ) $.
.S.E.O.

[anick1]

Hai detto:
"Per il primo esercizio si ha che il determinante è $ne 0 $ se $k ne1,k ne-4$"

cosa sta ad indicare il simbolo del dollaro? "$ne 0 $ se $k ne1,k ne-4$" a parole cos'è?

e poi: per il caso k=1 quali sono le basi di Imf e Kerf?

[Eredir]

"anick":cosa sta ad indicare il simbolo del dollaro? "$ne 0 $ se $k ne1,k ne-4$" a parole cos'è?

Vedi questo thread.

[anick1]

grazie, adesso si ke ho capito

mi resta però l'unico caso in cui k=1 , potreste aiutarmi?

[Camillo]

Se $ k = 1 $ per trovare ker , va risolto il sistema omogeneo

$3x+y+z = 0 $
$-y+z = 0 $
$3x+2y = 0 $
(la matrice dei coefficienti ha rango 2 e quindi dim ker f = 1)

che ha come soluzioni : $ x=x, y = -3x/2; z = y = -3x/2$ ;

ker f = $( x,-3x/2, -3x/2 )$ , una base : $ ( 2,-3,-3)$.

Ovviamente dim im f = 2 .Espressione cartesiana : $ ( a+b, -a+b, 2b)$ ottenuta come combinazione lineare delle colonne 2 et 3 della matrice ; una base : $[( 1,-1,0);(1,1,2)]$.

Va poi completato l'esercizio con $k = -4 $ .

[anick1]

grazie, molto gentile, mi hai aperto la mente , adesso lo completerò per k=-4 .