Dubbi su base e dimensione sotto spazio
Ciao a tutti! non riesco a capire come trovare le basi di un sottospazio o la dimensione, per esempio in questo esercizio si chiede:
Trovare una base del seguente sottospazio di [tex]R^3[/tex]:
[tex]S=\{(x,y,z) \in R^3: 4x+2y+z=0\}[/tex]
o per quanto riguarda le dimensioni un esercizio del tipo:
Trovare la dimensione del seguente sottospazio di [tex]R^3[/tex]:
[tex]S=\{(x,y,z)/in R^3: x-2y+3z=0\}[/tex]
grazie in anticipo!
Trovare una base del seguente sottospazio di [tex]R^3[/tex]:
[tex]S=\{(x,y,z) \in R^3: 4x+2y+z=0\}[/tex]
o per quanto riguarda le dimensioni un esercizio del tipo:
Trovare la dimensione del seguente sottospazio di [tex]R^3[/tex]:
[tex]S=\{(x,y,z)/in R^3: x-2y+3z=0\}[/tex]
grazie in anticipo!
Risposte
"mark36":
Trovare una base del seguente sottospazio di [tex]R^3[/tex]:
[tex]S=\{(x,y,z) \in R^3: 4x+2y+z=0\}[/tex]
Partiamo con il primo, poi faremo anche il secondo...
Dall'equazione puoi ricavare $z = -4x-2y$ quindi il generico elemento del sottospazio sarà fatto così$$
\begin{pmatrix}x\\y\\-4x-2y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}
$$Cosa abbiamo detto con questo? Che ogni elemento (vettore) del sottospazio è esprimibile come combinazione lineare di questi vettori$$
\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}
\right\}
$$ che quindi rappresentano una base.
Tutto chiaro?
"mark36":
Trovare la dimensione del seguente sottospazio di \( R^3 \):
\( S=\{(x,y,z)\in R^3: x-2y+3z=0\} \)
Forse il metodo più "sicuro" è scrivere una base e poi contare i vettori che la compongono. Procediamo come nell'esercizio precedente: $x = 2y-3z$ quindi il generico vettore del sottospazio ha la seguente struttura$$
\begin{pmatrix}2y-3z\\y\\z\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}
$$quindi una base è formata dai vettori$$
\left\{
\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}
\right\}
$$e la dimensione del sottospazio è $2$.
Qualche dubbio?
incredibile... hai risolto il dubbio che mi sta perseguitando da 3 giorni!!!! 
tutto chiaro grazie mille!! 
tutto chiaro grazie mille!!
"mark36":
incredibile... hai risolto il dubbio che mi sta perseguitando da 3 giorni!!!!
Prego!
Se hai altri dubbi postali prima di soffrire altri 3 giorni!
scusa ma ne approfitto per romperti un altro po'! 
nel caso io abbia più di un equazione come in questo caso:
[tex]S=\{(x,y,z) \in R^3: 2x+2y+z=0, x-4y+3z=0\}[/tex]
come trovo la dimensione e quindi anche la base?
nel caso io abbia più di un equazione come in questo caso:
[tex]S=\{(x,y,z) \in R^3: 2x+2y+z=0, x-4y+3z=0\}[/tex]
come trovo la dimensione e quindi anche la base?
"mark36":
scusa ma ne approfitto per romperti un altro po'!
nel caso io abbia più di un equazione come in questo caso:
[tex]S=\{(x,y,z) \in R^3: 2x+2y+z=0, x-4y+3z=0\}[/tex]
come trovo la dimensione e quindi anche la base?
Puoi risolvere il seguente sistema lineare:$$
\begin{cases}
2x+2y+z=0\\x-4y+3z=0
\end{cases}
$$In forma matriciale diventa$$
\begin{pmatrix}
2&2&1\\1&-4&3
\end{pmatrix}
$$Dai soliti passaggi (osservazioni sul rango, incognite che diventano parametri, ...) si ricava$$
\begin{cases}
x = -z\\y = \frac{z}{2}\\z = z
\end{cases}
$$Quindi il generico vettore ha la forma$$
\begin{pmatrix}
-z\\\frac{z}{2}\\z
\end{pmatrix} = z \begin{pmatrix}
-1\\\frac{1}{2}\\1
\end{pmatrix}
$$La dimensione del sottospazio è quindi $1$ e una sua base è $((-2), (1), (2))$ dove ho moltiplicato per $2$ per togliere la frazione.
PS. Il sistema si poteva anche risolvere per sostituzione ma si trovano poi casi più complessi dove è indispensabile saper utilizzare la forma matriciale di un sistema lineare.
perfetto grazie mille!!
"mark36":
perfetto grazie mille!!
Prego!
Riposto qui un altro esercizio sempre inerente alla domanda che avevo posto:
Dato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3 nella variabile x, trovare la dimensione del sottospazio formato dai polinomi che hanno i coefficienti uguali.
nel caso non abbia un equazione, in casi come questo come faccio?
p.s posso continuare ad usare questo post giusto evitando di aprirne un altro giusto?
Dato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3 nella variabile x, trovare la dimensione del sottospazio formato dai polinomi che hanno i coefficienti uguali.
nel caso non abbia un equazione, in casi come questo come faccio?
p.s posso continuare ad usare questo post giusto evitando di aprirne un altro giusto?
Ciao, sì certo puoi usare questo thread.
I polinomi con grado minore o uguale a 3 sono rappresentabili come$$
ax^3+bx^2+cx+d
$$Se i coefficienti devono essere uguali il polinomio sarà nella forma$$
ax^3+ax^2+ax+a
$$Un polinomio è determinato quando conosci i suoi coefficienti. Se li metti in un vettore hanno la seguente struttura$$
\begin{pmatrix}
a\\a\\a\\a
\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\1
\end{pmatrix}
$$Quindi la dimensione è......
I polinomi con grado minore o uguale a 3 sono rappresentabili come$$
ax^3+bx^2+cx+d
$$Se i coefficienti devono essere uguali il polinomio sarà nella forma$$
ax^3+ax^2+ax+a
$$Un polinomio è determinato quando conosci i suoi coefficienti. Se li metti in un vettore hanno la seguente struttura$$
\begin{pmatrix}
a\\a\\a\\a
\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\1
\end{pmatrix}
$$Quindi la dimensione è......
1, chiarissimo vado un secondo O.T. se avessi dubbio su un altro esercizio, ma non inerente a questo (è sulle rette in [tex]R^2[/tex]) devo aprire un altro topic?
vado un secondo O.T. se avessi dubbio su un altro esercizio, ma non inerente a questo (è sulle rette in [tex]R^2[/tex]) devo aprire un altro topic?
"mark36":
se avessi dubbio su un altro esercizio, ma non inerente a questo (è sulle rette in [tex]R^2[/tex]) devo aprire un altro topic?
Credo che sarebbe meglio.
perfetto grazie mille!
Prego! 
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