Dubbi per matrice definita positiva
Salve a tutti,
ho una matrice a coefficienti reali A = $ ( ( 8-lambda , 9 ),( 9 , lambda ) ) $
Mi viene chiesto per quali valori di lambda questa è definita positiva.
Io so che per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se i minori ottenuti cancellando volta per volta le colonne e le righe sono tutti positivi, dico bene? Quindi dovrebbe essere:
$ det( ( 8-lambda ) ) >0 $
e
$ det( ( 8-lambda , 9 ),( 9 , lambda ) ) >0 $
Se con il primo determinante non ho problemi (il risultato è $ lambda <8 $ ), con il secondo ottengo:
$ det( ( 8-lambda , 9 ),( 9 , lambda ) ) = (8-lambda)*lambda-9*9= -lambda^2+8lambda-81 $
Che mi da come risultato una coppia di numeri complessi. Cosa sbaglio? Non si dovrebbe applicare Sylvester in questo caso?
Grazie mille intanto per aver letto fin qui
ho una matrice a coefficienti reali A = $ ( ( 8-lambda , 9 ),( 9 , lambda ) ) $
Mi viene chiesto per quali valori di lambda questa è definita positiva.
Io so che per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se i minori ottenuti cancellando volta per volta le colonne e le righe sono tutti positivi, dico bene? Quindi dovrebbe essere:
$ det( ( 8-lambda ) ) >0 $
e
$ det( ( 8-lambda , 9 ),( 9 , lambda ) ) >0 $
Se con il primo determinante non ho problemi (il risultato è $ lambda <8 $ ), con il secondo ottengo:
$ det( ( 8-lambda , 9 ),( 9 , lambda ) ) = (8-lambda)*lambda-9*9= -lambda^2+8lambda-81 $
Che mi da come risultato una coppia di numeri complessi. Cosa sbaglio? Non si dovrebbe applicare Sylvester in questo caso?
Grazie mille intanto per aver letto fin qui
Risposte
Mmmm no 
Adesso mi informo, poi vi dico. Intanto grazie per la dritta.
Il procedimento che sto seguendo è corretto però? Va bene ragionare con Sylvester?
Edit:
erano cose delle superiori... mamma mia, ma la mia matematica quanto è arrugginita?
Essendo a<0 la disequazione non è mai verificata, quindi la matrice non può essere definita positivamente per nessun lambda... Dico bene?
Adesso mi informo, poi vi dico. Intanto grazie per la dritta.Il procedimento che sto seguendo è corretto però? Va bene ragionare con Sylvester?
Edit:
erano cose delle superiori... mamma mia, ma la mia matematica quanto è arrugginita? Essendo a<0 la disequazione non è mai verificata, quindi la matrice non può essere definita positivamente per nessun lambda... Dico bene?
Grazie mille, gentilissimo.
Nello stesso esercizio, viene poi chiesto, fissato $ lambda $ , di determinare gli autovalori della matrice e di risolvere il sistema lineare che ha la matrice come matrice dei coefficienti, e (1, 1) come colonna dei termini noti.
Per la prima richiesta non ho avuto problemi, ho trovato il polinomio caratteristico, poi so che le sue radici sono gli autovalori. Ho solo un dubbio, se per caso qualche radice avesse molteplicità diversa da uno (non è questo il caso), devo contarle tutte nel numero degli autovalori?
Per il secondo quesito, io ho semplicemente scritto:
Per $ lambda = 0 $, aggiungendo la colonna, dei termini noti la matrice diventa:
$ ( ( 8, 9 , 1 ),( 9 , 0 , 1 ) ) $
Quindi mi scrivo il sistema:
$ { ( 8x+9y=1 ),( 9x = 1 ):} $
Che in pratica si risolve da solo, ottenendo $ x = 1/9 $ e $ y = 1/81 $ , ma mi sembra troppo facile
Secondo voi va bene?
Nello stesso esercizio, viene poi chiesto, fissato $ lambda $ , di determinare gli autovalori della matrice e di risolvere il sistema lineare che ha la matrice come matrice dei coefficienti, e (1, 1) come colonna dei termini noti.
Per la prima richiesta non ho avuto problemi, ho trovato il polinomio caratteristico, poi so che le sue radici sono gli autovalori. Ho solo un dubbio, se per caso qualche radice avesse molteplicità diversa da uno (non è questo il caso), devo contarle tutte nel numero degli autovalori?
Per il secondo quesito, io ho semplicemente scritto:
Per $ lambda = 0 $, aggiungendo la colonna, dei termini noti la matrice diventa:
$ ( ( 8, 9 , 1 ),( 9 , 0 , 1 ) ) $
Quindi mi scrivo il sistema:
$ { ( 8x+9y=1 ),( 9x = 1 ):} $
Che in pratica si risolve da solo, ottenendo $ x = 1/9 $ e $ y = 1/81 $ , ma mi sembra troppo facile
Secondo voi va bene?
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