Dubbi geometria differenziale
Salve!
Sto preparando l'esame di geometria differenziale e, dimostrando alcuni teoremi, mi sono accorta che un paio di cose non mi sono chiare. Magari sono cose sciocche, ma sono talmente esaurita che mi perdo in un bicchier d'acqua
1) Perché se ho una superficie con tutti punti ombelicali, allora posso affermare che un vettore del piano tangente alla superficie è del tipo $dNp(w)=L(p)*w$ con $L$ funzione differenziabile?
2) Perché se ho un punto parabolico la $IIp(w)$ (seconda forma fondamentale) non cambia mai di segno, mentre con il punto iperbolico cambia sempre?
Grazie in anticipo e scusate se ho chiesto delle cose banali
Sto preparando l'esame di geometria differenziale e, dimostrando alcuni teoremi, mi sono accorta che un paio di cose non mi sono chiare. Magari sono cose sciocche, ma sono talmente esaurita che mi perdo in un bicchier d'acqua
1) Perché se ho una superficie con tutti punti ombelicali, allora posso affermare che un vettore del piano tangente alla superficie è del tipo $dNp(w)=L(p)*w$ con $L$ funzione differenziabile?
2) Perché se ho un punto parabolico la $IIp(w)$ (seconda forma fondamentale) non cambia mai di segno, mentre con il punto iperbolico cambia sempre?
Grazie in anticipo e scusate se ho chiesto delle cose banali
Risposte
Come si dice anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura_ ... a_costante
una superficie a soli punti ombelicali è una sfera.
Il piano tangente a una sfera non ha molti segreti, come anche uno dei vettori che appartiene al piano: deve avere prodotto scalare nulla con la normale al piano.
Cosa è $w$ ?
http://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura_ ... a_costante
una superficie a soli punti ombelicali è una sfera.
Il piano tangente a una sfera non ha molti segreti, come anche uno dei vettori che appartiene al piano: deve avere prodotto scalare nulla con la normale al piano.
Cosa è $w$ ?
mi sono resa conto solo ora che ho fatto un errore di trascrizione.
è $dNp(w)=L(p)*w$
scusate. ora modifico il testo.
comunque quello che devo dimostrare è proprio che se ho tutti punti ombelicali mi trovo su un piano o una sfera.
è $dNp(w)=L(p)*w$
scusate. ora modifico il testo.
comunque quello che devo dimostrare è proprio che se ho tutti punti ombelicali mi trovo su un piano o una sfera.
"Izzy412":
comunque quello che devo dimostrare è proprio che se ho tutti punti ombelicali mi trovo su un piano o una sfera.
Mi pare che questa dimostrazione stia sul do Carmo, Differential Geometry... Prova a darci uno sguardo.
Confermo quello che dice gugo, su quel libro trovi la dimostrazione che cerchi.
Per quanto riguarda la seconda domanda, se hai un punto iperbolico allora la curvatura gaussiana \(K\) è negativa, e quindi le curvature principali \(k_1,k_2\) hanno segno opposto, visto che \(K = k_1 k_2\).
Se il punto è parabolico, invece, \(K=0\) e su questo non so cosa si possa dire. Sicura che il secondo caso non sia con un punto ellittico?
In tal caso hai che \(K>0\) e così risolvi.
Detto ciò, devi considerare che siccome la seconda forma fondamentale è una forma quadratica, i suoi autovalori limitano i valori che la forma può assumere, e quindi...
Per quanto riguarda la seconda domanda, se hai un punto iperbolico allora la curvatura gaussiana \(K\) è negativa, e quindi le curvature principali \(k_1,k_2\) hanno segno opposto, visto che \(K = k_1 k_2\).
Se il punto è parabolico, invece, \(K=0\) e su questo non so cosa si possa dire. Sicura che il secondo caso non sia con un punto ellittico?
In tal caso hai che \(K>0\) e così risolvi.
Detto ciò, devi considerare che siccome la seconda forma fondamentale è una forma quadratica, i suoi autovalori limitano i valori che la forma può assumere, e quindi...
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