Dubbi elementari su equazioni cartesiane
Sono un po' arrugginito in queste cose e mi servirebbe una mano. In $\mathbb P^2(\RR)$ (con riferimento standard) ho il sottospazio generato dai punti $[1,0,2]$ , $[1,-1,3]$ , $[1,1,0]$. Mi viene chiesto di trovare le equazioni parametriche e cartesiane del sottospazio. Allora ho pensato di ricavare le parametriche da:
$(x_0,x_1,x_2) = \lambda (1,0,2) + \mu (1,-1,3) + \xi (1,1,0)$ da cui $\{(x_0 = \lambda +\mu + \xi),(x_1= -\mu + \xi),(x_2=2\lambda +3\mu):}$
I punti dovrebbero generare un iperpiano, ma poi qualcosa non mi torna quando mi vado a ricavare la cartesiana, non riesco ad eliminare uno dei paramentri (ad esempio arrivo alla forma $2x_0 + x_1 - x_2 + 3\mu = 0$). Devo fare qualcosa prima?
Inoltre, un'altro dubbio che mi è venuto deriva dal numero dei parametri che ho. Questo iperpiano ha dimensione 2 ma ho 3 parametri. Cosa significa?
Grazie
$(x_0,x_1,x_2) = \lambda (1,0,2) + \mu (1,-1,3) + \xi (1,1,0)$ da cui $\{(x_0 = \lambda +\mu + \xi),(x_1= -\mu + \xi),(x_2=2\lambda +3\mu):}$
I punti dovrebbero generare un iperpiano, ma poi qualcosa non mi torna quando mi vado a ricavare la cartesiana, non riesco ad eliminare uno dei paramentri (ad esempio arrivo alla forma $2x_0 + x_1 - x_2 + 3\mu = 0$). Devo fare qualcosa prima?
Inoltre, un'altro dubbio che mi è venuto deriva dal numero dei parametri che ho. Questo iperpiano ha dimensione 2 ma ho 3 parametri. Cosa significa?
Grazie
Risposte
"Injo":Risposta al volo: significa che tutto va bene. E' vero che i parametri sono 3 ma sono parametri omogenei, definiti solo a meno di una costante moltiplicativa.
Inoltre, un'altro dubbio che mi è venuto deriva dal numero dei parametri che ho. Questo iperpiano ha dimensione 2 ma ho 3 parametri. Cosa significa?
Un link in cui abbiamo parlato proprio di questo argomento:
https://www.matematicamente.it/forum/det ... 43700.html
https://www.matematicamente.it/forum/det ... 43700.html
Innanzitutto grazie.
Quindi le parametriche che ho indicato sono corrette. Da quel che ho capito devo quindi considerare, per l'equazione cartesiana, il sottospazio di $\RR^3$ generato dai $(1,0,2),(1,-1,3),(1,1,0)$. Per fare questo ho trovato i due vettori $(0,1,-1)$ e $(0,-1,2)$ (ricavati dai tre punti dati) ed ho considerato quindi:
$\{(x_0=0),(x_1=\lambda_1 - \lambda_2),(x_2=-\lambda_1 + 2\lambda_2):}$
Quindi il piano generato dovrebbe essere $x_0=0$. È corretto?
Quindi le parametriche che ho indicato sono corrette. Da quel che ho capito devo quindi considerare, per l'equazione cartesiana, il sottospazio di $\RR^3$ generato dai $(1,0,2),(1,-1,3),(1,1,0)$. Per fare questo ho trovato i due vettori $(0,1,-1)$ e $(0,-1,2)$ (ricavati dai tre punti dati) ed ho considerato quindi:
$\{(x_0=0),(x_1=\lambda_1 - \lambda_2),(x_2=-\lambda_1 + 2\lambda_2):}$
Quindi il piano generato dovrebbe essere $x_0=0$. È corretto?
Qualcosa non va. Infatti i vettori $(1, 0, 2), (1,-1,3), (1,1,0)$ sono linearmente indipendenti, ovvero i punti proiettivi $[1, 0, 2], [1, -1, 3], [1, 1, 0]$ sono 3 punti indipendenti in uno spazio proiettivo di dimensione 2. Quindi essi generano tutto $\mathbb{P}^2(RR)$. (ricordati: in uno spazio proiettivo, per generare tutto lo spazio servono tanti punti indipendenti quanti la dimensione dello spazio più uno).
Mh, giusto.
La generazione dell'intero spazio come dovrebbe essere rappresentata? Come l'equazione di un iperpiano dipendendente però da un parametro?
Ad esempio dal sistema delle parametriche riesco ad arrivare a $2x_0 - 2x_1 - x_2 +\mu = 0$, $\mu \in \RR$.
La generazione dell'intero spazio come dovrebbe essere rappresentata? Come l'equazione di un iperpiano dipendendente però da un parametro?
Ad esempio dal sistema delle parametriche riesco ad arrivare a $2x_0 - 2x_1 - x_2 +\mu = 0$, $\mu \in \RR$.
"Injo":Anche se non capisco bene cosa vuoi dire la risposta è no. Le equazioni parametriche/cartesiane di tutto lo spazio non possono che essere le più banali:
La generazione dell'intero spazio come dovrebbe essere rappresentata? Come l'equazione di un iperpiano dipendendente però da un parametro?
parametriche ${(x_0=lambda),(x_1=mu), (x_2=nu):}$;
cartesiane ${0=0:}$.
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