Dualità
Scusate, ho dei problemi di comprensione sulla "Dualità" in algebra lineare.
Sul mio libro di testo mi da questa definizione:
"Un applicazione bilineare e:VxW $rarr$ K fra spazi vettoriali su K si dice una DUALITA' fra V e W se:
$E_1$ ed $E_2$ sono iniettive, ovvero :
e(v,w) = 0 per ogni w $in$W $=>$ v=0
e(v,w) = 0 per ogni v $in$V $=>$ w=0 "
Questa è la definizione che ho trovato, io sono arrivato a pensare che siccome l'applicazione bilineare deve essere iniettiva, allora il suo ker=0 e siccome è bilineare dovrò valutare il ker in due casi separati.
Spero che abbiate seguito il briciolo di ragionamento, anche se scritto non molto chiaramente.
Inoltre vorrei capirene l'utilità, perchè su un'altro libro ho trovato scritto che la duale di una matrice associata ad un'equazione lineare è la sua trasposta...
Vi ringrazio per l'attenzione
Sul mio libro di testo mi da questa definizione:
"Un applicazione bilineare e:VxW $rarr$ K fra spazi vettoriali su K si dice una DUALITA' fra V e W se:
$E_1$ ed $E_2$ sono iniettive, ovvero :
e(v,w) = 0 per ogni w $in$W $=>$ v=0
e(v,w) = 0 per ogni v $in$V $=>$ w=0 "
Questa è la definizione che ho trovato, io sono arrivato a pensare che siccome l'applicazione bilineare deve essere iniettiva, allora il suo ker=0 e siccome è bilineare dovrò valutare il ker in due casi separati.
Spero che abbiate seguito il briciolo di ragionamento, anche se scritto non molto chiaramente.
Inoltre vorrei capirene l'utilità, perchè su un'altro libro ho trovato scritto che la duale di una matrice associata ad un'equazione lineare è la sua trasposta...
Vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
Il nocciolo della mia domanda è cercare intanto di capire la definizione. Infatti non sono sicuro di averla capita molto bene,non riesco infatti a idealizzare il concetto di dualità.
Vediamo se con qualche esempio forse riesco a capire:
1) Verificare che q:K(2) x $K^4$ $rarr$ K definita da q($((a,b),(c,d))$ $((x),(y),(z),(t))$) = ay - bx + 2cz- dt è una dualità
2)Sia W= $\{$ $((x),(y),(z),(t))$ $in$ $K^4$ | x=t=0 $}$ ; descrivere W* (W duale)
Se riuscite a indicarmi come risolvere questi esercizi forse riesco a capire meglio...
1) Verificare che q:K(2) x $K^4$ $rarr$ K definita da q($((a,b),(c,d))$ $((x),(y),(z),(t))$) = ay - bx + 2cz- dt è una dualità
2)Sia W= $\{$ $((x),(y),(z),(t))$ $in$ $K^4$ | x=t=0 $}$ ; descrivere W* (W duale)
Se riuscite a indicarmi come risolvere questi esercizi forse riesco a capire meglio...
Provo a spiegarti qualcosa io: sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo $\mathbb{K}$, e sia $\hat V:= Hom(V,\mathbb{K})$ lo spazio duale di $V$. Allora si definisce dualità canonica una applicazione
$\circ : \hat V\times V\to\mathbb{K}$
che manda la coppia $(\xi,v)$ in $(\xi \circ v=\xi(v)$.
Per le proprietà di spazio vettoriale, la dualità canonica è una applicazione lineare in entrambe le variabili (di ciò sicuramente trovi una dimostrazione sul tuo libro): ciò che importa davvero è però che tale applicazione è non degenere (in altre parole, se $\xi\circ v=0$ per ogni $v$ alllora $\xi$ è la forma nulla, e viceversa, se $\xi\circ v=0$ per ogni $\xi$ allora $v$ è il vettore nullo: facile mostrarlo).
Definita una base hai un modo non canonico di identificare gli elementi di $V^*$ con le matrici $1\times n$ (volendo essere più precisi, le entrate di questa matrice sono le coordinate $(\xi(v_j))_{j=1,...,n}$ di $\xi$ calcolata sulla base $\mathcal{V}=\{v_1,...,v_n\}$.
Questa identificazione dipende visibilmente dalla base scelta: esiste però il modo di identificare in modo canonico uno spazio vettoriale con $\hat\hat V:=Hom(\hat V,\mathbb{K})$, mediante la mappa $v\mapsto \phi_v(*)$, ove $\phi_v(*):\hat V\to \mathbb{K}$, $\phi_v(\xi)=\xi(v)$.
$\circ : \hat V\times V\to\mathbb{K}$
che manda la coppia $(\xi,v)$ in $(\xi \circ v=\xi(v)$.
Per le proprietà di spazio vettoriale, la dualità canonica è una applicazione lineare in entrambe le variabili (di ciò sicuramente trovi una dimostrazione sul tuo libro): ciò che importa davvero è però che tale applicazione è non degenere (in altre parole, se $\xi\circ v=0$ per ogni $v$ alllora $\xi$ è la forma nulla, e viceversa, se $\xi\circ v=0$ per ogni $\xi$ allora $v$ è il vettore nullo: facile mostrarlo).
Definita una base hai un modo non canonico di identificare gli elementi di $V^*$ con le matrici $1\times n$ (volendo essere più precisi, le entrate di questa matrice sono le coordinate $(\xi(v_j))_{j=1,...,n}$ di $\xi$ calcolata sulla base $\mathcal{V}=\{v_1,...,v_n\}$.
Questa identificazione dipende visibilmente dalla base scelta: esiste però il modo di identificare in modo canonico uno spazio vettoriale con $\hat\hat V:=Hom(\hat V,\mathbb{K})$, mediante la mappa $v\mapsto \phi_v(*)$, ove $\phi_v(*):\hat V\to \mathbb{K}$, $\phi_v(\xi)=\xi(v)$.
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