Duale algebrico di spazio vettoriale di dimensione infinita
Ciao a tutti ragazzi,
probabilmente la mia domanda sarà di una banalità assoluta, per cui mi scuso in anticipo. Tuttavia -e pur avendo fatto un search sul forum- ancora non riesco a raccapezzarmi..In sostanza:
Se $R^omega$ è lo spazio delle successioni di numeri reali definitivamente nulle (e dispone di una base indicizzata da $NN$), il suo duale può essere pensato come lo spazio di tutte le successioni di numeri reali, $R^NN$. Com'è allora possibile che, se $R^omega$ ha una dimensione numerabile, $R^NN$ invece abbia una base NON numerabile?? Voglio dire, la base di quest'ultimo non dovrebbe essere ancora $NN$???
Grazie in advance!
probabilmente la mia domanda sarà di una banalità assoluta, per cui mi scuso in anticipo. Tuttavia -e pur avendo fatto un search sul forum- ancora non riesco a raccapezzarmi..In sostanza:
Se $R^omega$ è lo spazio delle successioni di numeri reali definitivamente nulle (e dispone di una base indicizzata da $NN$), il suo duale può essere pensato come lo spazio di tutte le successioni di numeri reali, $R^NN$. Com'è allora possibile che, se $R^omega$ ha una dimensione numerabile, $R^NN$ invece abbia una base NON numerabile?? Voglio dire, la base di quest'ultimo non dovrebbe essere ancora $NN$???
Grazie in advance!
Risposte
Abbiamo parlato esattamente di questa faccenda poco tempo fa, qui: https://www.matematicamente.it/forum/dua ... 40327.html
dissonance, quando dicevo di aver già svolto una ricerca sul forum, mi riferivo proprio a quella discussione..
..tuttavia ammetto di non capire ancora
..
In termini massimamente banali, come può $R^NN$ avere una base non numerabile?
..tuttavia ammetto di non capire ancora
..In termini massimamente banali, come può $R^NN$ avere una base non numerabile?
Ah ecco non avevo capito. In realtà il motore di ricerca non è molto intuitivo (ti confesso che ha ancora molti segreti per me 
) quindi pensavo non avessi trovato quella discussione.
Per la domanda dovresti aggiustare un po' il tiro. Cosa non ti è chiaro:
che lo spazio delle serie di potenze formali non abbia dimensione numerabile?
che lo spazio delle serie di potenze formali sia il duale algebrico dello spazio dei polinomi?
) quindi pensavo non avessi trovato quella discussione. Per la domanda dovresti aggiustare un po' il tiro. Cosa non ti è chiaro:
che lo spazio delle serie di potenze formali non abbia dimensione numerabile?
che lo spazio delle serie di potenze formali sia il duale algebrico dello spazio dei polinomi?
Grazie dissonance, in realtà la domanda è un "concentrato" di entrambe quelle che hai scritto. Glissando sul mio lessico non ortodosso, diciamola così: se l'elemento $f$ di $V#$ (duale di $V$) è una successione con numero non numerabile di elementi essa può essere applicata all'elemento $x$ di $V$, che ha base numerabile?
Inoltre pongo di nuovo la domanda:
Inoltre pongo di nuovo la domanda:
"lo_scrondo":
In termini massimamente banali, come può $R^NN$ avere una base non numerabile?
Posso quindi cominciare col chiederti perchè
"dissonance":
lo spazio delle serie di potenze formali non abbia dimensione numerabile?
"dissonance":
duale algebrico
Ci sono altri tipi di duale?
@NightKnight: Sì. Negli spazi vettoriali topologici un sottospazio del duale algebrico è il duale topologico, costituito dalle forme lineari continue. Poi non so se ci sono altre nozioni affini, può benissimo essere.
@scrondo: Scusa il ritardo! Dunque, che il duale algebrico dei polinomi sia lo spazio delle serie di potenze è spiegato molto chiaramente da ViciousGoblin nell'altro post. Tieni presente la regola nasometrica:
@scrondo: Scusa il ritardo! Dunque, che il duale algebrico dei polinomi sia lo spazio delle serie di potenze è spiegato molto chiaramente da ViciousGoblin nell'altro post. Tieni presente la regola nasometrica:
- più lo spazio vettoriale è "piccolo", più lo spazio duale è "grande". [/list:u:2hfvsi4s]Se hai bisogno di altre informazioni su questo, ne possiamo riparlare.
Invece per il fatto della dimensione delle serie di potenze, io partirei da un'osservazione:
una base algebrica genera lo spazio per mezzo delle combinazioni lineari finite.
Questo funziona bene con i polinomi: se consideriamo l'insieme ${1, X, X^2, ...}$, facendone combinazioni lineari finite possiamo costruirli tutti. Ma per le serie di potenze, che non sono combinazioni lineari finite di questi monomi, il trucco non funziona più. Ecco allora che per beccare tutte le serie di potenze bisogna considerare qualcosa di più grande di ${1, X, X^2...}$. Quanto più grande? Parecchio: qualunque insieme numerabile avrà sempre lo stesso problema.
Certo dimostrare formalmente quest'ultima affermazione non è banalissimo. Un ragionamento semplice nel caso in cui il campo degli scalari sia $QQ$ è contenuto nell'altro topic (sempre ad opera di ViciousGoblin) qui: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#300836
Spero di avere fornito almeno un quadro intuitivo della faccenda.
Non ho mica capito come vada questa cosa ( e comunqe non mi pare banale).
Questa mattina, dato che sono stato citato da dissonance, mi sono detto "beh adesso vado io e sistemo tutto" ...
detto fatto mi sono messo a tentare di far vedere che l'insieme delle combinazioni lineari finite
degli elementi di un'ipotetica base numerabile di $RR^{NN}$ ha cardinalita' piu' bassa di tutto $RR^{NN}$
(che era il sistema che avevo escogitato nel caso in cui al posto di $RR$ ci fosse $QQ$).
Beh dopo un'oretta persa a sistemare i dettagli ho verificato, come mi aspettavo, che la cardinalita' delle combinazioni lineari finite
- a coefficienti in $RR$ - di un insieme numerabile ha la cardinalita' del continuo.
A questo punto pensavo di aver concluso, la cardinalita' di $RR^{NN}$ sara' piu' della cardinalita' di $RR$.... INVECE NO la cardinalita' di
$RR^{NN}$ e' pari alla cardinalita' di $RR$ (e' scritto da piu' parti e, una volta saputolo, ho trovato abbastanza facilmente una dimostrazione).
Quindi se i coefficienti sono in $RR$ il fatto che la base debba essere piu' che numerabile non mi sembra possa uscire da semplici questioni
di cardinalita', se e' vero deve entrarci la struttura di spazio vettoriale - io in questo momento non saprei come farlo.
ALGEBRISTI HELP
Questa mattina, dato che sono stato citato da dissonance, mi sono detto "beh adesso vado io e sistemo tutto" ...
detto fatto mi sono messo a tentare di far vedere che l'insieme delle combinazioni lineari finite
degli elementi di un'ipotetica base numerabile di $RR^{NN}$ ha cardinalita' piu' bassa di tutto $RR^{NN}$
(che era il sistema che avevo escogitato nel caso in cui al posto di $RR$ ci fosse $QQ$).
Beh dopo un'oretta persa a sistemare i dettagli ho verificato, come mi aspettavo, che la cardinalita' delle combinazioni lineari finite
- a coefficienti in $RR$ - di un insieme numerabile ha la cardinalita' del continuo.
A questo punto pensavo di aver concluso, la cardinalita' di $RR^{NN}$ sara' piu' della cardinalita' di $RR$.... INVECE NO la cardinalita' di
$RR^{NN}$ e' pari alla cardinalita' di $RR$ (e' scritto da piu' parti e, una volta saputolo, ho trovato abbastanza facilmente una dimostrazione).
Quindi se i coefficienti sono in $RR$ il fatto che la base debba essere piu' che numerabile non mi sembra possa uscire da semplici questioni
di cardinalita', se e' vero deve entrarci la struttura di spazio vettoriale - io in questo momento non saprei come farlo.
ALGEBRISTI HELP
@NightKnight: intendevo anch'io lo spazio duale topologico.
@dissonance: grazie della tua lucida esposizione, mi ha illuminato e "confortato" in qualcosa che molto "nasometricamente" (bella questa
) sentivo dovesse essere il bandolo della matassa. Complici anche degli appunti non precisissimi, qualcosa tuttavia ancora non l'ho colto al 100%..Sono però un tantinello cotto (domani ho biochimica..), perciò aspetto che i dubbi si sedimentino in una domanda precisa..potrò disturbarti ancora nel caso?
@ViciousGoblin: complimenti per le dimostrazioni!
That's it
@dissonance: grazie della tua lucida esposizione, mi ha illuminato e "confortato" in qualcosa che molto "nasometricamente" (bella questa
) sentivo dovesse essere il bandolo della matassa. Complici anche degli appunti non precisissimi, qualcosa tuttavia ancora non l'ho colto al 100%..Sono però un tantinello cotto (domani ho biochimica..), perciò aspetto che i dubbi si sedimentino in una domanda precisa..potrò disturbarti ancora nel caso?@ViciousGoblin: complimenti per le dimostrazioni!
"ViciousGoblin":
Quindi se i coefficienti sono in $RR$ il fatto che la base debba essere piu' che numerabile non mi sembra possa uscire da semplici questioni
di cardinalita', se e' vero deve entrarci la struttura di spazio vettoriale - io in questo momento non saprei come farlo.
That's it
MMMh, la topologia !! questa parola mi cambia la prospettiva - tra l'altro mi tornano piu' alcune affermazioni fatte all'inizio.
Vale il fatto seguente(scritto da molte parti):
Se $X$ e' uno spazio di Banach di dimensione infinita, allora la sua dimensione e' piu' che numerabile.
DIM. Supponiamo che $X$ abbia una base numerabile $(x_n)_{n\in NN}$ e definiamo
$X_n="combinazioni lineari di "x_1,...,x_n$. Allora $X_n$ e' un chiuso con parte interna vuota.
D'altra parte dovrebbe essere $X=\bigcup_{n\in NN}X_n$ e questo contrasta con il teorema di Baire.
(naturalmente e' essenziale la completezza di $X$)
Quindi anche lo spazio delle successioni infinitesime ha dimensione piu' che numerabile... e mi pare che
questo risolva anche il problema iniziale (dato che $RR^{NN}$ e' un soprainsieme di $c_0$)
@lo_scrondo: Che nozione di base avevi in mente ? (ma lo scrondo era quel pupazzo verdastro ....)
Vale il fatto seguente(scritto da molte parti):
Se $X$ e' uno spazio di Banach di dimensione infinita, allora la sua dimensione e' piu' che numerabile.
DIM. Supponiamo che $X$ abbia una base numerabile $(x_n)_{n\in NN}$ e definiamo
$X_n="combinazioni lineari di "x_1,...,x_n$. Allora $X_n$ e' un chiuso con parte interna vuota.
D'altra parte dovrebbe essere $X=\bigcup_{n\in NN}X_n$ e questo contrasta con il teorema di Baire.
(naturalmente e' essenziale la completezza di $X$)
Quindi anche lo spazio delle successioni infinitesime ha dimensione piu' che numerabile... e mi pare che
questo risolva anche il problema iniziale (dato che $RR^{NN}$ e' un soprainsieme di $c_0$)
@lo_scrondo: Che nozione di base avevi in mente ? (ma lo scrondo era quel pupazzo verdastro ....)
Mapporca, ho la sensazione di star riaffogando in un bicchiere d'acqua ..tuttavia:
se $V$ è uno spazio vettoriale a dimensione infinita sul campo $A$, il suo duale è lo spazio dei funzionali lineari da $V$ ad $A$..allora perchè la cardinalità delle basi è diversa? Voglio dire, la cardinalità dei due insiemi sarà certamente diversa, ma se $V^*$ è lo spazio dei funzionali "intervenienti" su $V$, per definizione la base dovrà essere la stessa, no?
..tuttavia:se $V$ è uno spazio vettoriale a dimensione infinita sul campo $A$, il suo duale è lo spazio dei funzionali lineari da $V$ ad $A$..allora perchè la cardinalità delle basi è diversa? Voglio dire, la cardinalità dei due insiemi sarà certamente diversa, ma se $V^*$ è lo spazio dei funzionali "intervenienti" su $V$, per definizione la base dovrà essere la stessa, no?
"ViciousGoblin":
MMMh, la topologia !! questa parola mi cambia la prospettiva - tra l'altro mi tornano piu' alcune affermazioni fatte all'inizio.
Vale il fatto seguente(scritto da molte parti):
Se $X$ e' uno spazio di Banach di dimensione infinita, allora la sua dimensione e' piu' che numerabile.
DIM. Supponiamo che $X$ abbia una base numerabile $(x_n)_{n\in NN}$ e definiamo
$X_n="combinazioni lineari di "x_1,...,x_n$. Allora $X_n$ e' un chiuso con parte interna vuota.
D'altra parte dovrebbe essere $X=\bigcup_{n\in NN}X_n$ e questo contrasta con il teorema di Baire.
(naturalmente e' essenziale la completezza di $X$)
Quindi anche lo spazio delle successioni infinitesime ha dimensione piu' che numerabile... e mi pare che
questo risolva anche il problema iniziale (dato che $RR^{NN}$ e' un soprainsieme di $c_0$)
@lo_scrondo: Che nozione di base avevi in mente ? (ma lo scrondo era quel pupazzo verdastro ....)
forse sbaglio ma questo ti dice che $c_0$ non ha una base numerabile di elementi in $c_0$ che non esclude che la abbia invece considerando anche gli elementi di $RR^(NN)$. non so se questa affermazione abbia molto senso
@lo_scrondo Intuisco che hai qualcosa in mente ma non capisco cosa - sono troppo abituato a dare per scontato che spazio e duale
possano essere molto diversi (in dimensione infinita). Perche' pensi che abbiano la stessa dimensione ? Poi non capisco; se hanno la
stessa dimensione devono avere la stessa cardinalita' (mi pare). Comunque le questioni sui duali sono insidiosissime.
@rubik Cio' che dici non e' peregrino e ci avevo pensato. Ma credo che (a forza di assiomi della scelta) debba essere vero che in uno spazio
tutte le basi debbano avere la stessa cardinalita' (se non e' cosi' non ha senso parlare di dimesione). Allora se $RR^{NN}$ avesse dimensione numerabile
non potrebbe contenere un sottoinseme piu' che numerabile di elementi indipendenti (come invece accade - prendi una base di $c_0$)
possano essere molto diversi (in dimensione infinita). Perche' pensi che abbiano la stessa dimensione ? Poi non capisco; se hanno la
stessa dimensione devono avere la stessa cardinalita' (mi pare). Comunque le questioni sui duali sono insidiosissime.
@rubik Cio' che dici non e' peregrino e ci avevo pensato. Ma credo che (a forza di assiomi della scelta) debba essere vero che in uno spazio
tutte le basi debbano avere la stessa cardinalita' (se non e' cosi' non ha senso parlare di dimesione). Allora se $RR^{NN}$ avesse dimensione numerabile
non potrebbe contenere un sottoinseme piu' che numerabile di elementi indipendenti (come invece accade - prendi una base di $c_0$)
"ViciousGoblin":
Ma credo che (a forza di assiomi della scelta) debba essere vero che in uno spazio
tutte le basi debbano avere la stessa cardinalita' (se non e' cosi' non ha senso parlare di dimesione). Allora se $RR^{NN}$ avesse dimensione numerabile
non potrebbe contenere un sottoinseme piu' che numerabile di elementi indipendenti (come invece accade - prendi una base di $c_0$)
m'hai convinto
io sto cercando di trovare una via algebrica per dimostrarlo ma non riesco
poi vorrei chiedere a dissonance chiarimenti sulla "regola nasometrica"(immagino non sia un termine tecnico
) , io avrei detto che più è grande lo spazio vettoriale più è grande il duale in quanto se $VsubU$ allora c'è una mappa naturale $Hom(U,K)->Hom(V,K)$ che è la restrizione è ed suriettiva quindi $U$ duale è "maggiore uguale" a $V$ duale, quindi il principio non mi torna ma potrei sbagliare.
@rubik La regola nasometrica di dissonance e' vangelo per noi analisti. Cio' non toglie che il tuo argomento sta in piedi ed e' un altro di quei
problemi che periodicamente mi assillano e che devo risolvere. Molto banalmente il duale di $RR^N$ e' $RR^N$ e quindi cresce con $N$ - come stanno le cose?
Mi sembra di ricordare la mia "risposta standard" (dovrei annotarmela da qualche parte....) e provo a spiegartela.
La situazione tipica che ho in mente io e' quella di due spazi vettoriali $X$ e $Y$ i dotati ognuno di una norma. Supponiamo che $X\subset Y$ e
supponiamo che l'immersione $i:X\to Y$ sia continua (siamo in spazi vettoriali topologici - e quindi considero la nozione di duale topologico).
Allora per ogni funzionale continuo $\phi$ in $Y'$ risulta definito $i^\star(\phi)=\phi\circ i$ che sta in $X'$ (esattamente la restrizione a $X$ di cui parlavi tu).
Pero' nella situazione tipica $X$ NON e' un sottospazio chiuso di $Y$ (e quindi $i^\star$ NON e' necessariamente surgettiva ) anzi $X$ e' denso in $Y$
da cui puoi ricavarti che $i^\star$ e' iniettiva. Dunque in situazioni come questa (frequentissime in analisi funzionale) le cose vanno nel senso inverso.
Se vuoi ti mando altri dettagli domani
problemi che periodicamente mi assillano e che devo risolvere. Molto banalmente il duale di $RR^N$ e' $RR^N$ e quindi cresce con $N$ - come stanno le cose?
Mi sembra di ricordare la mia "risposta standard" (dovrei annotarmela da qualche parte....) e provo a spiegartela.
La situazione tipica che ho in mente io e' quella di due spazi vettoriali $X$ e $Y$ i dotati ognuno di una norma. Supponiamo che $X\subset Y$ e
supponiamo che l'immersione $i:X\to Y$ sia continua (siamo in spazi vettoriali topologici - e quindi considero la nozione di duale topologico).
Allora per ogni funzionale continuo $\phi$ in $Y'$ risulta definito $i^\star(\phi)=\phi\circ i$ che sta in $X'$ (esattamente la restrizione a $X$ di cui parlavi tu).
Pero' nella situazione tipica $X$ NON e' un sottospazio chiuso di $Y$ (e quindi $i^\star$ NON e' necessariamente surgettiva ) anzi $X$ e' denso in $Y$
da cui puoi ricavarti che $i^\star$ e' iniettiva. Dunque in situazioni come questa (frequentissime in analisi funzionale) le cose vanno nel senso inverso.
Se vuoi ti mando altri dettagli domani
@ViciousGoblin: Forse sto intravedendo una luce nel tunnel..e pensare che in queste questioni ci sono "cascato" anche se non mi "servono" assolutamente, per il momento, negli esami che sto preparando..
Però permettimi di porre una domanda, che sarà una panzana assurda e mi demistificherà come "pivello":
Consideriamo una base per lo spazio dei polinomi: essa (la solita) è numerabile.
Consideriamo una base per lo spazio delle serie formali: essa non è numerabile, perchè, banalissimissimamente, è $RR$? Ma allora l'elemento di tale spazio avrà un numero non numerabile di termini? E allora come può essere una serie formale se, per definizione, le serie formali sono assimilabili ad un polinomio con infinità numerabile di termini?
And so on..
Ebbene si, lo Scrondo è QUEL pupazzo - non ero ancora nato quando imperversava in tv, ma l'ho scoperto poi..che dire? Indimenticabile.
Però permettimi di porre una domanda, che sarà una panzana assurda e mi demistificherà come "pivello":
Consideriamo una base per lo spazio dei polinomi: essa (la solita) è numerabile.
Consideriamo una base per lo spazio delle serie formali: essa non è numerabile, perchè, banalissimissimamente, è $RR$? Ma allora l'elemento di tale spazio avrà un numero non numerabile di termini? E allora come può essere una serie formale se, per definizione, le serie formali sono assimilabili ad un polinomio con infinità numerabile di termini?
And so on..
Ebbene si, lo Scrondo è QUEL pupazzo - non ero ancora nato quando imperversava in tv, ma l'ho scoperto poi..che dire? Indimenticabile.
"lo_scrondo":
@ViciousGoblin: Forse sto intravedendo una luce nel tunnel..e pensare che in queste questioni ci sono "cascato" anche se non mi "servono" assolutamente, per il momento, negli esami che sto preparando..
Però permettimi di porre una domanda, che sarà una panzana assurda e mi demistificherà come "pivello":
Consideriamo una base per lo spazio dei polinomi: essa (la solita) è numerabile.
Consideriamo una base per lo spazio delle serie formali: essa non è numerabile, perchè, banalissimissimamente, è $RR$? Ma allora l'elemento di tale spazio avrà un numero non numerabile di termini? E allora come può essere una serie formale se, per definizione, le serie formali sono assimilabili ad un polinomio con infinità numerabile di termini?
And so on..
Ebbene si, lo Scrondo è QUEL pupazzo - non ero ancora nato quando imperversava in tv, ma l'ho scoperto poi..che dire? Indimenticabile.
Io invece ero nato in quegli anni...
.Venendo a noi devo dire che non capisco bene quello che dici sopra
- che la base per i polinomi sia numerabile e' effettivamente ovvio; tale base e' costituita dai monomi $x^n$ ed e' una base proprio per la definzione di polinomio; peraltro i polinomi
sono ovviamente un insieme piu' che numerabile (le sole costanti hanno la cardinalita' di $RR$ - sto considerando il caso con coefficienti reali)
- che la base per le serie formali non sia numerabile non mi pare per nulla ovvio (anche se mi sono convinto che e' vero). La dimostrazione basata sulla cardinalita' (vecchio thread)
funziona se i coefficienti sono in $QQ$; non capisco come fai a dire che "banalissimamente e' $RR$
- cosa c'entrano i termini della serie che costituisce un elemento dello spazio $RR^{NN}$ ? Dire che tale spazio ha una base non numerabile vuol dire che e' necessario prendere
un'infinita' piu' che numerabile di serie formali (ognuna delle quali avra' una quantita' numerabile di termini) per poter generare tutto lo spazio tramite loro combinazioni lineari finite.
Alla prossima
"ViciousGoblin":
@rubik La regola nasometrica di dissonance e' vangelo per noi analisti. Cio' non toglie che il tuo argomento sta in piedi ed e' un altro di quei
problemi che periodicamente mi assillano e che devo risolvere. Molto banalmente il duale di $RR^N$ e' $RR^N$ e quindi cresce con $N$ - come stanno le cose?
Mi sembra di ricordare la mia "risposta standard" (dovrei annotarmela da qualche parte....) e provo a spiegartela.
La situazione tipica che ho in mente io e' quella di due spazi vettoriali $X$ e $Y$ i dotati ognuno di una norma. Supponiamo che $X\subset Y$ e
supponiamo che l'immersione $i:X\to Y$ sia continua (siamo in spazi vettoriali topologici - e quindi considero la nozione di duale topologico).
Allora per ogni funzionale continuo $\phi$ in $Y'$ risulta definito $i^\star(\phi)=\phi\circ i$ che sta in $X'$ (esattamente la restrizione a $X$ di cui parlavi tu).
Pero' nella situazione tipica $X$ NON e' un sottospazio chiuso di $Y$ (e quindi $i^\star$ NON e' necessariamente surgettiva ) anzi $X$ e' denso in $Y$
da cui puoi ricavarti che $i^\star$ e' iniettiva. Dunque in situazioni come questa (frequentissime in analisi funzionale) le cose vanno nel senso inverso.
Se vuoi ti mando altri dettagli domani
probabilmente la richiesta della continuità "taglia" via qualche funzionale o qualcosa del genere, che dici? forse si potrebbero distinguere i due casi duale algebrico e topologico?
se hai un esempio che non ti porta via tempo, vederlo mi farebbe piacere, oppure se sai indicarmi dove guardare risolvo da me
ciao
L'esempio piu' semplice che mi viene in mente e' il seguente - ovviamente non posso darti tutti i dettagli ...
DEFINIZIONI
$c_0={"successioni "(a_n)" infinitesime"}$; se $a=(a_n)\in c_0$ definisco la sua norma $||a||:="sup"_n|a_n|$;
$l^2={"successioni "(a_n)" tali che "\sum_{n=1}^\infty a_n^2<+\infty}$; se $a=(a_n)\in l^2$ definisco la sua norma $||a||_2:=(\sum_{n=1}^\infty a_n^2)^{1/2}$;
$l^1={"successioni "(a_n)" tali che "\sum_{n=1}^\infty |a_n|<+\infty}$; se $a=(a_n)\in l^1$ definisco la sua norma $||a||_1:=\sum_{n=1}^\infty |a_n|$;
Si dimostra che $c_0$, $l^1$ ed $l^2$ sono spazi vettoriali normati completi.
FATTO $l^2\subset c_0$. Inoltre l'immersione di $l^2$ in $c_0$ e' continua.
DIM. L'inclusione segue dal fatto che una serie convergente ha termine generale infinitesimo.
La seconda affermazione segue dal fatto che, se $a=(a_n)\in l^2$, allora
$||a||^2="sup"_n|a_n|^2\leq\sum_{n=1}^\infty a_n^2=||a||_2^2$ da cui $||a||\leq||a||_2$ che significa che
l'immersione e' continua (e ha norma uno).
FATTO $l^1\subset l^2$. Inoltre l'immersione di $l^1$ in $l^2$ e' continua.
DIM. Basta osservare che
$||a_2||^2=\sum_n=1^\infty a_n^2\leq ||a||\sum_n=1^\infty |a_n\leq||a|| ||a||_1\leq ||a||_1||a||_1$
(per vedere che $||a||\leq ||a||_1$ si fa come nel caso di prima). Allora $||a||_2\leq||a||_1$ da cui segue tutto.
FATTO Il duale (topologico) di $l^2$ e' (isomorfo a) $l^2$ - Piu' precisamente per ogni $\phi\in (l^1)'$ esiste $w=(w_n)$ in $l^2$ tale che
$\phi(a)=\sum_n^\infty a_n w_n$ per ogni $a=(a_n)$ in $l^2$.
Nota1: serve la dis. di Hoelder $|\sum_na_nw_n|\leq(\sum_n a_n^2)^{1/2}(\sum_n w_n^2)^{1/2}$
Nota2: allora la mappa $\phi\mapsto w$ e' un'isometria da $(l^2)'$ in $l^2$ -- e' poi banale vedere che e' surgettiva.
FATTO Il duale (topologico) di $c_0$ e' (isomorfo a) $l^1$ - Piu' precisamente per ogni $\phi\in (c_0)'$ esiste $w=(w_n)$ in $l^1$ tale che
$\phi(a)=\sum_n^\infty a_n w_n$ per ogni $a=(a_n)$ in $c_0$.
Se tutto questo e' vero $l^2\subset c_0$ ma $(c_0)'\subset (l^2)'$
Spero non ci siano troppi errori -
DEFINIZIONI
$c_0={"successioni "(a_n)" infinitesime"}$; se $a=(a_n)\in c_0$ definisco la sua norma $||a||:="sup"_n|a_n|$;
$l^2={"successioni "(a_n)" tali che "\sum_{n=1}^\infty a_n^2<+\infty}$; se $a=(a_n)\in l^2$ definisco la sua norma $||a||_2:=(\sum_{n=1}^\infty a_n^2)^{1/2}$;
$l^1={"successioni "(a_n)" tali che "\sum_{n=1}^\infty |a_n|<+\infty}$; se $a=(a_n)\in l^1$ definisco la sua norma $||a||_1:=\sum_{n=1}^\infty |a_n|$;
Si dimostra che $c_0$, $l^1$ ed $l^2$ sono spazi vettoriali normati completi.
FATTO $l^2\subset c_0$. Inoltre l'immersione di $l^2$ in $c_0$ e' continua.
DIM. L'inclusione segue dal fatto che una serie convergente ha termine generale infinitesimo.
La seconda affermazione segue dal fatto che, se $a=(a_n)\in l^2$, allora
$||a||^2="sup"_n|a_n|^2\leq\sum_{n=1}^\infty a_n^2=||a||_2^2$ da cui $||a||\leq||a||_2$ che significa che
l'immersione e' continua (e ha norma uno).
FATTO $l^1\subset l^2$. Inoltre l'immersione di $l^1$ in $l^2$ e' continua.
DIM. Basta osservare che
$||a_2||^2=\sum_n=1^\infty a_n^2\leq ||a||\sum_n=1^\infty |a_n\leq||a|| ||a||_1\leq ||a||_1||a||_1$
(per vedere che $||a||\leq ||a||_1$ si fa come nel caso di prima). Allora $||a||_2\leq||a||_1$ da cui segue tutto.
FATTO Il duale (topologico) di $l^2$ e' (isomorfo a) $l^2$ - Piu' precisamente per ogni $\phi\in (l^1)'$ esiste $w=(w_n)$ in $l^2$ tale che
$\phi(a)=\sum_n^\infty a_n w_n$ per ogni $a=(a_n)$ in $l^2$.
Nota1: serve la dis. di Hoelder $|\sum_na_nw_n|\leq(\sum_n a_n^2)^{1/2}(\sum_n w_n^2)^{1/2}$
Nota2: allora la mappa $\phi\mapsto w$ e' un'isometria da $(l^2)'$ in $l^2$ -- e' poi banale vedere che e' surgettiva.
FATTO Il duale (topologico) di $c_0$ e' (isomorfo a) $l^1$ - Piu' precisamente per ogni $\phi\in (c_0)'$ esiste $w=(w_n)$ in $l^1$ tale che
$\phi(a)=\sum_n^\infty a_n w_n$ per ogni $a=(a_n)$ in $c_0$.
Se tutto questo e' vero $l^2\subset c_0$ ma $(c_0)'\subset (l^2)'$
Spero non ci siano troppi errori -
grazie mille Vicious, in effetti conoscevo questi fatti (quasi tutti), ho visto anche le dimostrazioni però non li avevo mai messi insieme, non in quest'ottica almeno.
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