Domandina algebra
Ciao, nn capisco bene una cosa...credo...
La dimensione delle matrici mxn e mxn? se si perche?
grazie ciao
La dimensione delle matrici mxn e mxn? se si perche?
grazie ciao
Risposte
se intendi che lo spazio vettoriale delle matrici MxN a coefficienti in un campo K è M*N si hai ragione.
il modo di vederlo è osservare che le M*N matrici con 1 in una posizione e 0 in tutte le altre (esempio 2x2 $((1,0),(0,0))$, $((0,1),(0,0))$,$((0,0),(1,0))$,$((0,0),(0,1))$ ) sono una base.
se il problema non era questo mi dispiace ma non ho capito
il modo di vederlo è osservare che le M*N matrici con 1 in una posizione e 0 in tutte le altre (esempio 2x2 $((1,0),(0,0))$, $((0,1),(0,0))$,$((0,0),(1,0))$,$((0,0),(0,1))$ ) sono una base.
se il problema non era questo mi dispiace ma non ho capito
ma M*N * sta per moltiplicazione giusto?
e nell esempio che mi hai fatto tu siamo quindi in dimensione 4?
grazie per la risp
e nell esempio che mi hai fatto tu siamo quindi in dimensione 4?
grazie per la risp
sì
ok, pero la dimensione nn dovrebbe essere il numero di vettori che formano una base? nell esempio di sopra nn posso considerare le righe o le colonne come vettori?
I vettori dello spazio vettoriale in questione sono le matrici stesse.
nello spazio delle matrici i "vettori" sono matrici. non puoi scrivere (in genere) una matrice come combinazione lineare di vettori numerici, dovrebbe avere sempre una sola colonna od una sola riga.
per queste osservazioni sì è sbagliato
scusatemi, potete spiegarmi bene quest ultima cosa? come mai nn posso pensare alle matrici come insieme di vettori?
Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica i cui elementi sono appunto detti vettori. Le proprietà che devono avere questi elementi (in questo caso le matrici) sono le medesime che hanno i vettori dello spazio ordinario, per questo si chiamano vettori, anche se non sono i vettori, diciamo così, per eccellenza 
"richard84":
scusatemi, potete spiegarmi bene quest ultima cosa? come mai nn posso pensare alle matrici come insieme di vettori?
comunque non è che non puoi fare mai questo ragionamento, qui non lo puoi fare perchè non c'entra
nn mi e ancora chiarissimo ma vedro di approfondire...sperando di trovare qualcosa....grazie mille!
prego scusa se non sono stato molto chiaro, per prima cosa comunque devi comprendere bene il concetto di spazio vettoriale 
il problema son io mica tu...
per me uno spazio vettoriale e come hai detto tu una struttura algembrica formata da vettori in cui valgono le proprieta di somma e prodotto
per me uno spazio vettoriale e come hai detto tu una struttura algembrica formata da vettori in cui valgono le proprieta di somma e prodotto
Esattamente, puoi averi innumerevoli esempi di spazio vettoriale:
1) lo spazio vettoriale dei vettori dello spazio (quelli veri , quelli geometrici che disegni, detto in soldoni),
2) lo spazio vettoriale delle n-uple $(a_1,...,a_n) in bbK ^n$ (che appunto rappresentano per n=2 i vettori geometrici del piano e per n=3 quelli dello spazio),
3) lo spazio vettoriale mxn a coefficienti in $bbK$,
eccetera eccetera...
Quella classe di spazi vettoriali a cui tu sei particolarmente legato è la 2), mentre la questione è incentrata ora sulla 3) (sempre detta alla carlona...)
1) lo spazio vettoriale dei vettori dello spazio (quelli veri
, quelli geometrici che disegni, detto in soldoni),2) lo spazio vettoriale delle n-uple $(a_1,...,a_n) in bbK ^n$ (che appunto rappresentano per n=2 i vettori geometrici del piano e per n=3 quelli dello spazio),
3) lo spazio vettoriale mxn a coefficienti in $bbK$,
eccetera eccetera...
Quella classe di spazi vettoriali a cui tu sei particolarmente legato
è la 2), mentre la questione è incentrata ora sulla 3) (sempre detta alla carlona...)
mi permetto di consigliarti Geometria 1 di Sernesi. non vale la pena comprarlo solo per gli spazi vettoriali(altrimenti vale) ma magari lo trovi in biblioteca all'università. io li ho studiati là, è un po complicato ma alla lunga lo adori
ok gracias
ancora una cosa qualcuno mi fa vedere formalmente e soprattutto gentilmente come mai lo spazio dei polinomi ha dimensioni n+1?
Ecco un altro esempio di spazio vettoriale: i vettori qui sono i polinomi di grado $<=n $ e quindi devi trovare una base di vettori (polinomi) verificando che tali vettori siano esattamente n+1.
Occhio che lo spazio vettoriale dei polinomi di qualunque grado non è finitamente generato...
Occhio che lo spazio vettoriale dei polinomi di qualunque grado non è finitamente generato...
un esempio di polinomi che formano una base?e un esempio di verifica che formano una base?
sei un po' impreciso nelle domande! 
lo spazio dei polinomi di grado<=n ha dimensione n+1. si fa vedere sempre mostrando una base dello spazio che in questo caso è
$ 1, x , x^2,...,x^n $ sono linearmente indipendenti e generano tutto lo spazio.
che generano tutto lo spazio mi sembra abbastanza facile da vedere, poi diciamo che se fossero linearmente dipendenti $x^n$ si dovrebbe scrivere come combinazione di $ 1, x , x^2,...,x^(n-1) $ il che è impossibile perchè la somma di polinomi di grado al max n-1 rimane un polinomio di grado max n-1. spero di essere stato chiaro! ciao
lo spazio dei polinomi di grado<=n ha dimensione n+1. si fa vedere sempre mostrando una base dello spazio che in questo caso è
$ 1, x , x^2,...,x^n $ sono linearmente indipendenti e generano tutto lo spazio.
che generano tutto lo spazio mi sembra abbastanza facile da vedere, poi diciamo che se fossero linearmente dipendenti $x^n$ si dovrebbe scrivere come combinazione di $ 1, x , x^2,...,x^(n-1) $ il che è impossibile perchè la somma di polinomi di grado al max n-1 rimane un polinomio di grado max n-1. spero di essere stato chiaro! ciao
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