Domande varie sulle coniche
Salve a tutti, avrei bisogno di qualche informazione sulle coniche, forse alcune nozioni le ho capite, ma vorrei esserne certo 
Parto con le domande allora:
- Come si trova il centro di una conica?
Se ho la conica di equazione generale
$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ da cui quindi ricavo l'equazione dei coefficienti
$((a,b,d),(b,c,e),(d,e,f))$
Per trovare il centro mi basta trovare l'intersezione delle rette formate dalle prime due righe di coefficienti? Ovvero:
$ax+by+d=0$
$bx+cy+e=0$
- Come si trovano gli asintoti di un'iperbole?
Partendo sempre dal caso generale $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ gli appunti che ho aggiungono all'equazione un certo valore $h$, dopodichè costruiscono la matrice
$((a,b,d+0),(b,c,e+0),(d,e,f+h))$
e trovano $h=-(detA)/(detF)$ dove F è la matrice dell'invariante quadratico, ma a che cosa mi serve questo valore $h$?
Per il momento le domande sono solo queste, se me ne verranno in mente altre le farò sicuramente, grazie anticipatamente per le risposte.
Parto con le domande allora:
- Come si trova il centro di una conica?
Se ho la conica di equazione generale
$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ da cui quindi ricavo l'equazione dei coefficienti
$((a,b,d),(b,c,e),(d,e,f))$
Per trovare il centro mi basta trovare l'intersezione delle rette formate dalle prime due righe di coefficienti? Ovvero:
$ax+by+d=0$
$bx+cy+e=0$
- Come si trovano gli asintoti di un'iperbole?
Partendo sempre dal caso generale $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ gli appunti che ho aggiungono all'equazione un certo valore $h$, dopodichè costruiscono la matrice
$((a,b,d+0),(b,c,e+0),(d,e,f+h))$
e trovano $h=-(detA)/(detF)$ dove F è la matrice dell'invariante quadratico, ma a che cosa mi serve questo valore $h$?
Per il momento le domande sono solo queste, se me ne verranno in mente altre le farò sicuramente, grazie anticipatamente per le risposte.
Risposte
rispondo solo alla prima perchè sono di fretta...
E' giusto quello che fai! Ma non è certo l'unico modo, nel senso che basta prendere due punti impropri qualsiasi, calcolarsi la polare ed intersecarle, questo perchè il centro è per definizione il polo della retta impropria. Tu nel fare quello che fai, hai scelto come punti improprio $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$
E' giusto quello che fai! Ma non è certo l'unico modo, nel senso che basta prendere due punti impropri qualsiasi, calcolarsi la polare ed intersecarle, questo perchè il centro è per definizione il polo della retta impropria. Tu nel fare quello che fai, hai scelto come punti improprio $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$
Quindi il metodo è giusto? Perfetto 
Per la seconda domanda invece non c'è nessuno?
Grazie ancora.
Per la seconda domanda invece non c'è nessuno?
Grazie ancora.
io conosco un altro modo per quanto riguarda gli asintoti.
Un asintoto ha equazione $(y-y_0)=m(x-x_0)$ ove $C(x_0,y_0)$ è il centro della conica, mentre $m$ è ottenuta dell'equazione dell0involuzione dei diametri coniugati ponendo $m=m'$ cioè $a_(2,2)m^2=2a_(2,1)m+a_(1,1)=0$
Un asintoto ha equazione $(y-y_0)=m(x-x_0)$ ove $C(x_0,y_0)$ è il centro della conica, mentre $m$ è ottenuta dell'equazione dell0involuzione dei diametri coniugati ponendo $m=m'$ cioè $a_(2,2)m^2=2a_(2,1)m+a_(1,1)=0$
ehm, non riesco a capire di cosa stai parlando, involuzione dei diametri coniugati? 
Riusciresti a spiegarti meglio? Magari con un esempio...
Riusciresti a spiegarti meglio? Magari con un esempio...
Ora non ho molto tempo per rispondere al meglio, comunque per risolvere un semplice esercizio ti basta applicare quella formula per trovare $m$ e poi usare l'equazione per determinare gli asintoti, a livello pratico non servo molto di più.
Appena ho un pò di tempo mi riprometto di rispondere meglio!
Ciao
Appena ho un pò di tempo mi riprometto di rispondere meglio!
Ciao
Per trovare gli asintoti di un'iperbole basta calcolare i suoi due punti impropri e poi calcolare le
polari di questi due punti rispetto all'iperbole.
polari di questi due punti rispetto all'iperbole.
Continuo a non capire, sarà che il mio esame di algebra non è una roba impossibile (è addirittura a crocette).
Purtroppo la materia non mi è stata insegnata perfettamente, la prof ha un metodo di insegnamento pessimo, l'esercitatore idem e di materiale su cui studiare seriamente non ce ne è molto (questo nonostante io sia pieno di appunti, ma come ben saprete, gli appunti rispecchiano la confusione che sia ha durante le spiegazioni)
Fatta questa premessa, mi potreste dire la definizione di punto improprio? Non riesco a trovarla da nessuna parte (ho anche delle slide sulle coniche ma non vi è traccia).
Stesso discorso per la polare, non riesco a capire cos'è, probabilmente sono domande banali, ma ripeto, non è colpa mia, io ce la metto tutta
Ho trovato questo vecchio topic:
https://www.matematicamente.it/forum/asi ... 44074.html
Ho capito come trovare le polari, ma mi manca ovviamente il passaggio successivo...
Grazie mille!
PS: dimenticavo di dire che neanche il libro mi è d'aiuto, poichè parla solo della parte di algebra lineare (tra l'altro essendo scritto dalla prof vi lascio immaginare il modo in cui è scritto -.- )
Purtroppo la materia non mi è stata insegnata perfettamente, la prof ha un metodo di insegnamento pessimo, l'esercitatore idem e di materiale su cui studiare seriamente non ce ne è molto (questo nonostante io sia pieno di appunti, ma come ben saprete, gli appunti rispecchiano la confusione che sia ha durante le spiegazioni)
Fatta questa premessa, mi potreste dire la definizione di punto improprio? Non riesco a trovarla da nessuna parte (ho anche delle slide sulle coniche ma non vi è traccia).
Stesso discorso per la polare, non riesco a capire cos'è, probabilmente sono domande banali, ma ripeto, non è colpa mia, io ce la metto tutta
Ho trovato questo vecchio topic:
https://www.matematicamente.it/forum/asi ... 44074.html
Ho capito come trovare le polari, ma mi manca ovviamente il passaggio successivo...
Grazie mille!
PS: dimenticavo di dire che neanche il libro mi è d'aiuto, poichè parla solo della parte di algebra lineare (tra l'altro essendo scritto dalla prof vi lascio immaginare il modo in cui è scritto -.- )
Ok, informandomi su internet sono riuscito a capire cosa sono i punti impropri, resta solo da capire come applicarli al problema.
Praticamente nel nostro caso sarebbero dei punti all'infinito in cui il nostro asintoto è "tangente all'infinito" all'iperbole?
Praticamente nel nostro caso sarebbero dei punti all'infinito in cui il nostro asintoto è "tangente all'infinito" all'iperbole?
Vero, non mi tornavano alcuni passaggi, ma ora ho capito, grazie
Prego!
Prego!
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