Domande teoriche di algebra lineare
Ciao, potete dirmi perchè, se ho una matrice quadrata $A$ e una matrice elementare $E$, vale la relazione $det(A*E)=detA*detE$? Questa relazione sta alla base della dimostrazione del teorema di Binet.
Altra cosa: Quando voglio dimostrare il teorema di Binet, e cioè che $det(A*B)=detA*detB$, io dico che $A$ si può esprimere come prodotto di un certo numero di matrici elementari $E_i$. Perchè è vero questo? Grazie mille, ciao
Altra cosa: Quando voglio dimostrare il teorema di Binet, e cioè che $det(A*B)=detA*detB$, io dico che $A$ si può esprimere come prodotto di un certo numero di matrici elementari $E_i$. Perchè è vero questo? Grazie mille, ciao
Risposte
suggerimenti?
Prova a ragionare sull'algoritmo di Gauss per i sistemi lineari 
"vict85":
Prova a ragionare sull'algoritmo di Gauss per i sistemi lineari ;)
Allora, io so che moltiplicando a sinistra una matrice $A$ per una matrice elementare $E$, cioò equivale ad eseguire una delle operazioni dell'eliminazione di Gauss. Però non capisco come $A$ sia espressa dal prodotto di matrici elementari, ne tantomeno vale la proprietà $det(E*A)=detE*detA$.
Allora, forse ci sono. Siccome moltiplicare a sinistra una matrice $A$ per una matrice elementare $E$ significa effettuare su $A$ una delle operazioni consentite dall'eliminazione di Gauss, e siccome attraverso l'eliminazione di Gauss è possibile trasformare $A$ nella matrice identica (questa affermazione non mi è chiarissima), è possibile scrivere $E_1*E_2....E_n*A=I$, dove $I$ è la matrice identica. A questo punto ricavo $A$, che viene espressa come prodotto di matrici elementari (l'inversa di una matrice elementare è ancora elementare?). Poi, siccome vale la proprietà che $det(E*B)=detE*detB$ (perchè?), segue la tesi. Se qualcuno potesse fare luce sui miei dubbi ne sarei felice. Ciao.
nessuno?
nessuno?
"lisdap":
Allora, forse ci sono. Siccome moltiplicare a sinistra una matrice $A$ per una matrice elementare $E$ significa effettuare su $A$ una delle operazioni consentite dall'eliminazione di Gauss, e siccome attraverso l'eliminazione di Gauss è possibile trasformare $A$ nella matrice identica (questa affermazione non mi è chiarissima), è possibile scrivere $E_1*E_2....E_n*A=I$, dove $I$ è la matrice identica. A questo punto ricavo $A$, che viene espressa come prodotto di matrici elementari (l'inversa di una matrice elementare è ancora elementare?). Poi, siccome vale la proprietà che $det(E*B)=detE*detB$ (perchè?), segue la tesi. Se qualcuno potesse fare luce sui miei dubbi ne sarei felice. Ciao.
Per l'ultima parte lo fai per casi:
- se scambi due righe moltiplichi il determinante per $-1$,
- se moltiplichi una riga per uno scalare moltiplichi il determinante per quello scalare,
- se sottrai ad una riga un multiplo di un'altra riga il determinante non cambia.
- e cosi via...
Queste cose si verificano direttamente (con alcune definizioni del determinante è più facile).
Sulla prima parte con l'algoritmo di Gauss puoi rendere la matrice diagonale riducendo per righe e colonne e poi scalando le righe ricavi l'identità. Sono tutte trasformazioni elementari.
Si, l'inversa di una matrice elementare è elementare ed è facile verificarlo se provi a pensare a come riportare allo stato iniziale una matrice moltiplicata per una elementare.
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