Domande sulla matrice idempotente
Ciao forum
Dovendo utilizzare solo il testo del mio prof, che al momento non trovo soddisfacente, ho fatto un paio di ricerche sulla matrice idempotente sia qui sul forum che sul web.
1)Definizione sul mio libro di testo:
Una matrice quadrata $A$ per cui $A^2 = A$ è detta idempotente.
2)Definizione trovata su matematicamente:
[A matrice idempotente] <=> [$A^n = A$ con $n>=2$]
3)altra definizione:
una matrice quadrata si dice PERIODICA se e solo se esiste un $m$ di $NN$ tale che $A^(m+1) = A$ se $m=1$ allora $A$ è idempotente.
la 1) credo sia concorde con la 3)
ma ho seri dubbi sulla 2) che poi è da dimostrare in quanto anche $A^3 = A$ è idempotente ma è anche periodico.
In sostanza, quale delle tre 'definizioni' ha una falla? Perchè da parte mia, la 1) è scarna e poco chiara. La 3) forse introduce il concetto di matrice periodica inglobando la idempotente, e la 2) è quella che ai miei occhi è più formale, ma ha bisogno di una dimostrazione.
per ora ho questi dubbi, semmai sempre s questo post, aggiungerò le altre :$
Dovendo utilizzare solo il testo del mio prof, che al momento non trovo soddisfacente, ho fatto un paio di ricerche sulla matrice idempotente sia qui sul forum che sul web.
1)Definizione sul mio libro di testo:
Una matrice quadrata $A$ per cui $A^2 = A$ è detta idempotente.
2)Definizione trovata su matematicamente:
[A matrice idempotente] <=> [$A^n = A$ con $n>=2$]
3)altra definizione:
una matrice quadrata si dice PERIODICA se e solo se esiste un $m$ di $NN$ tale che $A^(m+1) = A$ se $m=1$ allora $A$ è idempotente.
la 1) credo sia concorde con la 3)
ma ho seri dubbi sulla 2) che poi è da dimostrare in quanto anche $A^3 = A$ è idempotente ma è anche periodico.
In sostanza, quale delle tre 'definizioni' ha una falla? Perchè da parte mia, la 1) è scarna e poco chiara. La 3) forse introduce il concetto di matrice periodica inglobando la idempotente, e la 2) è quella che ai miei occhi è più formale, ma ha bisogno di una dimostrazione.
per ora ho questi dubbi, semmai sempre s questo post, aggiungerò le altre :$
Risposte
Basta iterare:
$[A^2=A] rarr [A^3=A^2*A=A*A=A^2=A] rarr [A^3=A]$
$[A^3=A] rarr [A^4=A^3*A=A*A=A^2=A] rarr [A^4=A]$
$...$
$[A^2=A] rarr [A^3=A^2*A=A*A=A^2=A] rarr [A^3=A]$
$[A^3=A] rarr [A^4=A^3*A=A*A=A^2=A] rarr [A^4=A]$
$...$
http://www.extrabyte.info/2009/09/28/ma ... empotente/
è un esercizio che ho visto, ma non riesco a capire perchè la soluzione sia solo $a=0$
che sicuramente ricavata da $a+1=1$
ma perchè non prende in considerazione anche $a^2 = a$ ?
è un esercizio che ho visto, ma non riesco a capire perchè la soluzione sia solo $a=0$
che sicuramente ricavata da $a+1=1$
ma perchè non prende in considerazione anche $a^2 = a$ ?
Veramente, si tratta di risolvere un sistema:
$\{(a^2=a),(a+1=1):} rarr \{([a=0] vv [a=1]),(a=0):} rarr [a=0]$
$\{(a^2=a),(a+1=1):} rarr \{([a=0] vv [a=1]),(a=0):} rarr [a=0]$
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