Domande sulla matrice associata ad una applicazione lineare.
Ciao a tutti.
Data la matrice associata, in base a cosa determino se l'applicazione e':
1) iniettiva
2) suriettiva
3) biiettiva (mi immagino quando e' 1) e 2). Ma ci sono per caso delle "scorciatoie" o delle regole generali? ex "per essere biiettiva la matrice deve essere quadrata" o cose simili)
Grazie mille
Data la matrice associata, in base a cosa determino se l'applicazione e':
1) iniettiva
2) suriettiva
3) biiettiva (mi immagino quando e' 1) e 2). Ma ci sono per caso delle "scorciatoie" o delle regole generali? ex "per essere biiettiva la matrice deve essere quadrata" o cose simili)
Grazie mille
Risposte
Necessariamente una applicazione lineare per essere biiettiva deve marciare tra spazi della stessa dimensione, quindi deve avere come matrice in ogni base scelta una matrice quadrata.
Se la matrice ha rango massimo, quindi determinante non nullo, allora l'applicazione lineare è iniettiva e suriettiva, quindi biiettiva.
Se invece le dimensioni di dominio e codominio sono diverse, allora il rango della matrice è quello che dice tutto: esso è infatti la dimensione dell'immagine, e nota quella si calcola la dimensione del Ker, da cui iniettività e suriettività.
Se la matrice ha rango massimo, quindi determinante non nullo, allora l'applicazione lineare è iniettiva e suriettiva, quindi biiettiva.
Se invece le dimensioni di dominio e codominio sono diverse, allora il rango della matrice è quello che dice tutto: esso è infatti la dimensione dell'immagine, e nota quella si calcola la dimensione del Ker, da cui iniettività e suriettività.
Ciao Luca grazie per la risposta.
Ok per la biiettivita'.
Pero' per quanto riguarda la inittivita' e suriettivita' scusami ma non ho ancora capito. Data la matrice A, come procedo (passetto per passetto) a determinare se f e iniettiva e/o suriettiva?
Mi immagino che calcolo prima il rango di A. E poi?
Ok per la biiettivita'.
Pero' per quanto riguarda la inittivita' e suriettivita' scusami ma non ho ancora capito. Data la matrice A, come procedo (passetto per passetto) a determinare se f e iniettiva e/o suriettiva?
Mi immagino che calcolo prima il rango di A. E poi?
Il rango della matrice è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare; dunque la sola lettura del rango ti dice se l'applicazione è suriettiva o no.
La formula $dim V=dim Ker L+dim ImL$, essendo $V$ lo spazio vettoriale dominio di $L$, ti dà poi la dimensione del $Ker$ e quindi l'eventuale iniettività.
La formula $dim V=dim Ker L+dim ImL$, essendo $V$ lo spazio vettoriale dominio di $L$, ti dà poi la dimensione del $Ker$ e quindi l'eventuale iniettività.
Ok grazie Luca.
Per ricapitolare: data $f: E -> F$ e la matrice associata A.
Tanto per iniziare il $rango(A)=dimIm(f)$
Quindi se:
$rango(A)=dimF$ f e' suriettiva
$dimker(f)= dimE - dimIm(f)= 0$ f e' iniettiva
Inoltre se A e' quadrata e detA non e' nullo allora f e' biiettiva (cioe' suriettiva e iniettiva). Tutto ok?
Ho probabilmente solo ripetuto quanto gia' detto da te, e' solo per essere sicuro di non aver malinteso qualcosa.
Grazie ancora
Per ricapitolare: data $f: E -> F$ e la matrice associata A.
Tanto per iniziare il $rango(A)=dimIm(f)$
Quindi se:
$rango(A)=dimF$ f e' suriettiva
$dimker(f)= dimE - dimIm(f)= 0$ f e' iniettiva
Inoltre se A e' quadrata e detA non e' nullo allora f e' biiettiva (cioe' suriettiva e iniettiva). Tutto ok?
Ho probabilmente solo ripetuto quanto gia' detto da te, e' solo per essere sicuro di non aver malinteso qualcosa.
Grazie ancora
Tutto Ok.
Ciao e grazie ancora
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