Domande su matrice

[ErnesFrghsieeee]

Buonasera .

Dovrei rispondere a tre domande pero' ho qualche difficoltà .
( Secondo me le risposte sono : si , no , e' diagonalizzabile ) pero' non sono per niente sicuro.
Voi cosa ne dite ?

Prima domanda :
La matrice
(A−I) e' non singolare . λ=1 e' un autovalore del sistema ?

a) si
b) no

Seconda domanda :
Sia la matrice (A−2I) pari a (1−2−36) ; λ=2 e' un autovalore del sistema ?

a) si
b) no

Terza domanda :

Una matrice A è regolare se e solo se
a) è diagonalizzabile
b) ha rango pieno
c) ha autovalori distinti

[anto_zoolander]

Ciao!

1- Giusto

2- Che vuol dire ‘la matrice ... è pari a ...’?

3- la matrice nulla $ntimesn$ è diagonalizzabile ma non è invertibile.

[ErnesFrghsieeee]

Grazie per avermi risposto.

Credo di aver scritto male la matrice :
Queste sono le due domande :




Io ho provato a impostare il ragionamento in questo modo :

$ ( ( 1 , -3 ),( -2 , 6 ) ) = ( ( 1 , -3 ),( -2 , 6 ) )-lambda ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

[Magma1]

$lambda$ è un autovalore per $f hArr (A-lambdaI)$ è una matrice non invertibile

$hArr det(A-lambdaI)=0$

$ hArr r(A)

nel tuo caso hai

$A-2I=((1,-3),(-2,6))$

Cita

Segnala

[ErnesFrghsieeee]

Ciao Magma . Grazie per avermi risposto .

In base alla risposta che mi hai dato provo a ragionare :

$ A = 2*( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) + ( ( 1 , -3 ),( -2 , 6 ) ) $

In questo modo mi trovo la matrice A . Poi trovo il polinomio caratteristico e gli autovalori .
Una volta trovati gli autovalori verifico se l'autovalore 2 esiste oppure no.

Magma , se mi confermi che il ragionamento e' giusto procedo con i calcoli .

Grazie

[Magma1]

Secondo me ti complichi la vita e perderesti tempo preziose in sede d'esame.

$lambda=2$ è un autovalore per $f hArr det((1,-3),(-2,6))=0 $

[ErnesFrghsieeee]

Va bene Magma pero' per capire meglio il concetto .

Una domanda :

mi servirebbe saper un caso dove $ lambda $ non e' autovalore.

Forse nel caso dove il determinante della matrice e' diverso da zero ?

Per esempio .

$ det ( ( , ),( , ) ) != 0 $

[ErnesFrghsieeee]

Magma, per questa domanda mi hai scritto che la risposta giusta e' " a)si " , pero' questa matrice essendo singolare ha il determinate non nullo .
Perciò come si fa a stabilire che $ lambda$=1 , e' autovalore del sistema ?( senza fare troppi calcoli )


Prima domanda :
La matrice
(A−I) e' non singolare . λ=1 e' un autovalore del sistema ?

a) si
b) no

[Magma1]

Considerato un endomorfismo $f: qquad V->V$ con $dim(V)

$lambda \text{ è autovalore} hArr EE vnebar(0) \text{ tale che } f(v)=lambda v, qquad lambda in RR$

ciò, introducendo la seguente funzione $f_lambda: V->V$ definita ponendo $f_lambda(v)=lambdav, qquad v in V, lambda in RR$, equivale a dire che

$ker(f_lambda)ne{bar0} hArr f_lambda \text{ non è iniettiva} hArr f_lambda \text{ non è bigettiva}$

$ hArr f_lambda \text{ non è invertibile} hArr det(A-lambdaI)=0$

Quindi

$[det(A-muI) ne 0] hArr mu \text{ non è autovalore per} f$

EDIT:

"polid":questa matrice essendo singolare ha il determinate non nullo .

Non conosco questa definizione, ti risulta che sia questa:
Wikipedia: Una matrice singolare è una matrice quadrata con determinante uguale a zero, oppure, analogamente, una matrice quadrata il cui rango non è massimo. In particolare, nessuna matrice singolare è invertibile

[ErnesFrghsieeee]

No, sono andato su questo link :

https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_invertibile

Comunque Magma , la spiegazione teorica che gentilmente mi hai scritto e' un po' complicata .

Essendo un ingegnere preferirei scegliere la strada un po' piu' pratica .

Magma , per questa domanda , secondo te qual'e' la risposta giusta : ( leggendo wikipedia mi sembra di aver capito che la risposta giusta sia la b) ha rango massimo pero' vorrei sentire un tuo parere.

Una matrice A è regolare se e solo se

a) è diagonalizzabile
b) ha rango pieno
c) ha autovalori distinti

[Magma1]

"polid":
Una matrice A è regolare se e solo se

a) è diagonalizzabile
b) ha rango pieno
c) ha autovalori distinti

leggendo wikipedia mi sembra di aver capito che la risposta giusta sia la "b) ha rango massimo"

P.S. Ovviamente, $A$ deve essere una matrice quadrata!