Domande Omologia ed Omotopia

orazioster
Premessa importante: ho incontrato queste nozioni
in un corso di Geometria Differenziale per studenti di Ingegneria;
questo per dire che si trattava proprio di nozioni rudimentali
di topologia algebrica, nulla di avanzato.
Ed inoltre non ho ora tempo per approfondire gli argomenti, per esempio studiando
il testo di Topologia Algebrica http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#ATI a cui
ho trovato link nel Forum (grazie comunque per i link!).

Quello che ho capito è che il gruppo $i-$esimo
di omologia di una varietà differenziale $M$
è il quoziente$H_i(M)-=(Ker(\del_i))/(Im(del_(i-1)))$

dove $\del_i$ è l'operazione che trasforma una $p-$catena su $M$ nella$(p-1)-$catena del suo bordo.

Questo mi è chiaro.

Le mie domande sono:
1) poichè $p$ non compare nella definizione, ne evinco che $H_i$ ne sia indipendente. E'giusto?
2) Qual'è la relazione con i gruppi di Omotopia $\pi_j(M)$?




Grazie.

Risposte
orazioster
mi sembra, inoltre, di aver capito
che avere gli stessi gruppi di Omotopia
sia condizione necessaria, ma non sufficiente (vedi Congettura di Poincaré), per un'immersione omeomorfa
di una varietà $n-$dimensionale in una $m-$dimensionale, $n<=m<(2n-1)$.
E'giusto?

D'altronde, (Teorema di Embedding di Whitney), è sempre
possibile immergere omeomorficamente una varietà $n-$dimensionale
in una di dimensione $m>=2n+1$: ma questa immersione NON è generalmente diffeomorfa (varietà esotiche di Milnor).

orazioster
Pardon, per puro lapsus avevo scritto un paio di volte "omotetia", al posto di "omotopia".
Questo perchè non avendo capito a fondo di cosa si tratta, per me è più o meno solo una parola, evidentemente.

apatriarca
E' incredibile quanto materiale ti sia stato insegnato nel corso.. Ma non sembra che le cose ti siano state spiegate molto bene, o comunque che tu le abbia comprese molto bene.

Partiamo dalla omologia. Esistono diverse teorie, a quale stai facendo riferimento? Singolare? Indipendentemente dalla teoria, la definizione è più o meno quella da te scritta, ma NON è vero che la definizione della mappa di bordo \(\partial_n : C_n \to C_{n-1}\) è indipendente dalla dimensione delle catene sul quale agisce. Infatti, \(\partial_n\) è definita sulle \(n\)-catene e ha come immagini \((n-1)\)-catene. Ma se non hai capito questo mi chiedo come puoi dire che quello che hai scritto sopra le domande ti era chiaro.. Non avevi neanche compreso quale fosse il dominio e il codominio delle mappe.. Nel caso in cui \(j = 1\), \( H_1(M) = \pi_1(M,*)_{ab} = \pi_1(M,*) / [\pi_1(M,*), \pi_1(M,*)]. \) Se non ricordo male c'è più in generale un qualche tipo di legame anche tra i gruppi di ordine maggiore, ma è in generale più complicata e non così diretta come in questo caso. Per qualche informazione in più sulla relazione tra i gruppi di omotopia superiore e i gruppi di omologia vedi per esempio il capitolo sul teorema di Hurewicz e il successivo nel libro di Hatcher. Normalmente si preferisce lavorare sui gruppi di omologia o coomologia perché facilmente calcolabili (almeno nel caso dei complessi simpliciali e nei CW complessi esiste un algoritmo per trovare i generatori e le relazioni di tutti i gruppi di omologia). Per i gruppi di omotopia non esiste niente di tutto ciò e per vederlo basta osservare le difficoltà nel provare il famoso teorema di Poincaré (essendo stato dimostrato non è più una congettura..).

Non mi sono del tutto chiari i tuoi dubbi nei successivi post invece. Posteresti dei riferimenti più precisi alle tue affermazioni? Ho l'impressione che manchi qualcosa o che i termini usati siano un po' imprecisi.

orazioster
Erano accenni di topologia algebrica, riguardo
alla problematica di immersione di una varietà in un'altra.


Io chiamavo $\deltai$ l'operazione da $C_(p-(i+1))$ a $C_(p-i)$, dato un $p$.

Evidentemente ho capito male.

Le mie domande riguardavano appunto la possibile immersione globale omeomorfa e diffeomorfa di una varietà in un'altra;
E pensavo che fosse necassaria una certa "Compatibilità" topologica
che si vedeva considerando i gruppi, appunto, di Omologia, o di Omotetia; in quanto
entrambi mi sembrava caratterizzassero proprietà topologiche delle varietà.

apatriarca
Ho sempre usato gli stessi indici per i moduli del complesso e le corrispondenti mappe di bordo e non ho mai visto la tua convenzione di chiamarli \(\delta_i\) (e a cosa corrisponderebbe per te \(\delta_i\) allora?). Direi che la spiegazione che ti è stata data è decisamente caotica in ogni caso.

Quello che non è del tutto chiaro è che cosa intendi con immersione globale omeomorfa e diffeomorfa, se ci siano restrizioni di qualche tipo nella varietà e su cosa stai calcolando i gruppi di omologia e di omotopia.

orazioster
$\del_0:C_p->C_(p-1)$
$\del_1:C_(p-1)->C_(p-2)$
$...$

Penso meglio a come formulare quello che intendevo.
Se ci riesco, lo scriverò.
A dirla così, pensavo come vi siano delle limitazioni alla immagine che una sfera può avere su un toro, per esempio,
e come non vi siano se l'immagine della sfera sia per esempio in $\RR^5$

Comunque prendo su me tutta la responsabilità del non avere concetti chiari, non posso proprio dire dipenda dal professore :D _

apatriarca
La notazione scelta dal tuo professore perché nel tuo caso, \(H_i(M)\) ha un significato diverso a seconda della dimensione dello spazio di cui si calcola i gruppi di omologia. Gli oggetti di tale spazio hanno cioè una interpretazione diversa. Con la convenzione che ho sempre visto è invece possibile confrontare i gruppi di omologia di spazi di dimensione qualsiasi senza preoccuparsi delle loro dimensioni.

In generale, due spazi topologici omeomorfi hanno tutti i gruppi di omologia e omotopia isomorfi (ed è quindi una condizione necessaria anche per avere un diffeomorfismo). La condizione non è senza dubbio sufficiente nel caso dell'omologia come scoprì Poincaré trovando un esempio di varietà \(3\)-dimensionale con gli stessi gruppi di omologia della sfera \(3\)-dimensionale ma non omeomorfa ad essa. Sull'omotopia sinceramente non ricordo, ma credo possa essere un problema aperto (sarei curioso di avere maggiori informazioni). Ma le tue conclusioni sulle immersioni mi sembrano troppo vaghe e, a seconda delle interpretazioni, banali o anche errate.

orazioster
"orazioster":

A dirla così, pensavo come vi siano delle limitazioni alla immagine che una sfera può avere su un toro, per esempio,
e come non vi siano se l'immagine della sfera sia per esempio in $\RR^5$

certo che questo è 'banale', ed in senso comune; a parte il senso matematico. Ipotesi, o domande,
formulate in modo banale.

Volevo solo illustrare la problematica per cui mi interessava dei gruppi di Omologia.

grazie per le risposte.

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