Domande generali

[lo_spartano]

salve ragazzi e buon pomeriggio a tutti tra due giorni ho l'orale di algebra e non riesco a trovare la dimostrazione di alcune domande che mi sono posto e che forse potrebbero pormi all'orale.

la prima domande è come faccio a dimostrare l'unicità della base.

la seconda domanda è di come faccio a dimostrare la proiezione ortogonale.

ed in fine la terza ed ultima domanda come faccio a dimostrare se una trasformazione lineare è iniettiva o suriettiva.

grazie in anticipo per la risposta ragazzi.

[giuscri]

"lo_spartano":la prima domande è come faccio a dimostrare l'unicità della base.

Stai parlando di base di spazi vettoriali? In tal caso la base non e' unica ...al piu' puoi dimostrare che i coefficienti relativi ad un vettore -espresso come combinazione lineare degli elementi della base- sono determinati in modo unico.

Se e' questa la dimostrazione che cerchi, allora ...dovrebbe essere piuttosto banale come fatto (altrimenti mandami al trillo del diavolo! ):

Teorema: sia \( V \) un \( \mathbb{K} \) spazio vettoriale. Sia \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_t \} \) una sua base. Preso \( \tilde{\mathbf{v}} \in V \), \( \tilde{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^t \alpha_i \mathbf{v}_i \), i coefficienti \( \{ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_t \} \) sono unici.

Il fatto si autodimostra, infatti se provi a pensare che esista un set di \( t \) scalari tali che
\[ \tilde{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^t \beta_i \mathbf{v}_i \]
arrivi subito alla conclusione che
\[ \alpha_i \equiv \beta_i \qquad \forall i = 1, 2, \ldots, t \]
via
\[0_V = \tilde{\mathbf{v}} - \tilde{\mathbf{v}} = \sum_i ( \alpha_i - \beta_i ) \mathbf{v}_i \]
(ricorda che i vettori in una base sono linearmente indipendenti per definizione )

[Guido Rocco]

Per dimostrare l'iniettività di un'applicazione lineare puoi usare il teorema di caratterizzazione dei monomorfismi: una condizione sufficiente (e anche necessaria) è che il nucleo si riduca al solo vettore nullo. Per la suriettività puoi provare che l'immagine coincide con tutto il codominio.
Per il primo punto, intendi il teorema sull'equicardinalità delle basi? Come ha detto giuscri, la base non è unica. Buono studio!