Domande dubbio su teoria ed esercizi
In vista dell'esame mi sono 'scritta' delle domande che attualmente tento a rispondere ma non sono ancora sicura al 100% e quindi ho dei dubbi ancora.
Potreste rispondere a qualcuna di questa in modo chiaro e anche in modo piu semplice possibile?
1)Cosa significa ''algebricamente chiuso''?
2)Che utilità ha il teorema fondamentale?
3)E' vero che per un autovalore ci sono infiniti autovettori?
4)Dato $(0,0,1)$ di $R^3$ $->(0,0)$ di $R^2$
e $(0,0,2)$ di $R^3$ $->(0,0)$ di $R^2$
significa la stessa cosa?
5)Dopo aver trovato gli autospazi, per avere la matrice del passaggio di base si mettono in colonna i vettori degli autospazi trovati. giusto?
Potreste rispondere a qualcuna di questa in modo chiaro e anche in modo piu semplice possibile?
1)Cosa significa ''algebricamente chiuso''?
2)Che utilità ha il teorema fondamentale?
3)E' vero che per un autovalore ci sono infiniti autovettori?
4)Dato $(0,0,1)$ di $R^3$ $->(0,0)$ di $R^2$
e $(0,0,2)$ di $R^3$ $->(0,0)$ di $R^2$
significa la stessa cosa?
5)Dopo aver trovato gli autospazi, per avere la matrice del passaggio di base si mettono in colonna i vettori degli autospazi trovati. giusto?
Risposte
1) che ogni polinomio non costante ha una radice...
2) dell'algebra o dell'aritmetica? Suppongo quello dell'algebra che ci assicura che $CC$ è algebricamente chiuso
3) Dobbiamo metterci d'accordo su cosa significhi infiniti. Quando trovi una base dell'autospazio, relativo ad un autovalore, automaticamente sai che ogni combinazione lineare di quei vettori è un autovettore di autovalore $lambda$, in questo senso infiniti sì... se in altro senso, direi proprio di no!
4) Ci ho pensato un pò, ma non riesco a capire la tua domanda.
Un'applicazione lineare è univocamente determinata da come si comporta sui vettori di base. La trasformazione di cui tu parli non ti assicura nulla, nè che siano identici nè che non lo siano.
Potrebbero essere tranquillamente $f(x,y,z)=(x+y,x+y)$ il primo e $f(x,y,z)=(3x,y)$ il secondo o ancora infiniti altri...
Posta così la domanda non la comprendo.
5)Sì, ed è esattamente la matrice che diagonalizza.
2) dell'algebra o dell'aritmetica? Suppongo quello dell'algebra che ci assicura che $CC$ è algebricamente chiuso
3) Dobbiamo metterci d'accordo su cosa significhi infiniti. Quando trovi una base dell'autospazio, relativo ad un autovalore, automaticamente sai che ogni combinazione lineare di quei vettori è un autovettore di autovalore $lambda$, in questo senso infiniti sì... se in altro senso, direi proprio di no!
4) Ci ho pensato un pò, ma non riesco a capire la tua domanda.
Un'applicazione lineare è univocamente determinata da come si comporta sui vettori di base. La trasformazione di cui tu parli non ti assicura nulla, nè che siano identici nè che non lo siano.
Potrebbero essere tranquillamente $f(x,y,z)=(x+y,x+y)$ il primo e $f(x,y,z)=(3x,y)$ il secondo o ancora infiniti altri...
Posta così la domanda non la comprendo.
5)Sì, ed è esattamente la matrice che diagonalizza.
Aggiungo due cose al volo:
3) Si (se il campo di partenza è infinito), e ciò è dovuto al fatto che ogni autovalore genera uno spazio vettoriale di dimensione almeno uno (e quindi, come ha detto mistake, ogni combinazione lineare di suoi autovettori è ancora un autovettore con lo stesso autovalore).
4) Innanzitutto devi specificare che tipo di trasformazione è... se come penso è una trasformazione lineare (ma comunque devi dirlo, sennò può essere qualsiasi cosa!) hai che $f((0, 0, 2)) = 2f((0, 0, 1)) = 2\cdot0 = 0$ e viceversa.
3) Si (se il campo di partenza è infinito), e ciò è dovuto al fatto che ogni autovalore genera uno spazio vettoriale di dimensione almeno uno (e quindi, come ha detto mistake, ogni combinazione lineare di suoi autovettori è ancora un autovettore con lo stesso autovalore).
4) Innanzitutto devi specificare che tipo di trasformazione è... se come penso è una trasformazione lineare (ma comunque devi dirlo, sennò può essere qualsiasi cosa!) hai che $f((0, 0, 2)) = 2f((0, 0, 1)) = 2\cdot0 = 0$ e viceversa.
Ecco, scusate la mia ignoranza, ma non so cosa sia un 'polinomio non costante'
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