Domande diagonalizzazione.
1)Una volta che so che la matrice è diagonalizzabile ed ho gli autovalori,per diagonalizzarla c'è una regola ben precisa che mi dice come disporli sulla diagonale,o posso disporli in maniera casuale?
2)Ci sono altri metodi oltre a quello classico (cioè della ricerca della molteplicità algebrica e geometrica) per determinare se una matrice è diagonalizzabile (ad esempio io so che una matrice è diagonalizzabile se rispetto a una opportuna base ha associata una matrice diagonale, ma non so come utilizzare questa proposizione)?
3)Ho incontrato molti esercizi in cui si doveva studiare la diagonalizzazione di una matrice al variare di un parametro arbitrario,possono esservi casi in cui una matrice è sempre diagonalizzabile, indipendentemente dal parametro assegnato?Quando può accadere ciò?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte
2)Ci sono altri metodi oltre a quello classico (cioè della ricerca della molteplicità algebrica e geometrica) per determinare se una matrice è diagonalizzabile (ad esempio io so che una matrice è diagonalizzabile se rispetto a una opportuna base ha associata una matrice diagonale, ma non so come utilizzare questa proposizione)?
3)Ho incontrato molti esercizi in cui si doveva studiare la diagonalizzazione di una matrice al variare di un parametro arbitrario,possono esservi casi in cui una matrice è sempre diagonalizzabile, indipendentemente dal parametro assegnato?Quando può accadere ciò?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte
Risposte
Ciao.
Li puoi mettere come vuoi, basta che sia coerenza poi con la matrice di cambiamento di base. Voglio dire che se metti sulla diagonale al primo posto l'autovalore $lambda_1$ le prime colonne della matrice $P$ (che ti permette di passare dalla base vecchia a quella nuova di autovettori) saranno costituite dai vettori di una base dell'autospazio relativo a $lambda_1$. Mi sono spiegato?
Esistono e si chiamano criteri di diagonalizzazione. Dato un'occhiata al libro o agli appunti? Sicuramente ci sono
La prima cosa che mi viene in mente: dire per quali valori di $h,k in R$ la matrice $A= ( ( k , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , h , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ è diagonal(izzabil)e.
A te le conclusioni.
"Antomus":
1)Una volta che so che la matrice è diagonalizzabile ed ho gli autovalori,per diagonalizzarla c'è una regola ben precisa che mi dice come disporli sulla diagonale,o posso disporli in maniera casuale?
Li puoi mettere come vuoi, basta che sia coerenza poi con la matrice di cambiamento di base. Voglio dire che se metti sulla diagonale al primo posto l'autovalore $lambda_1$ le prime colonne della matrice $P$ (che ti permette di passare dalla base vecchia a quella nuova di autovettori) saranno costituite dai vettori di una base dell'autospazio relativo a $lambda_1$. Mi sono spiegato?
"Antomus":
2)Ci sono altri metodi oltre a quello classico (cioè della ricerca della molteplicità algebrica e geometrica) per determinare se una matrice è diagonalizzabile (ad esempio io so che una matrice è diagonalizzabile se rispetto a una opportuna base ha associata una matrice diagonale, ma non so come utilizzare questa proposizione)?
Esistono e si chiamano criteri di diagonalizzazione. Dato un'occhiata al libro o agli appunti? Sicuramente ci sono
"Antomus":
3)Ho incontrato molti esercizi in cui si doveva studiare la diagonalizzazione di una matrice al variare di un parametro arbitrario,possono esservi casi in cui una matrice è sempre diagonalizzabile, indipendentemente dal parametro assegnato?Quando può accadere ciò?
La prima cosa che mi viene in mente: dire per quali valori di $h,k in R$ la matrice $A= ( ( k , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , h , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ è diagonal(izzabil)e.
A te le conclusioni.
Grazie mille Paolo90 
Prego, figurati.
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