Domanda veloce sul prodotto vettoriale.
Ciao 
Non mi è chiara una cosa:
Il prodotto vettoriale è definito sugli scalari del vettore o sulle componenti rispetto alla base ortonormale?
Per intenderci $v=(x,y,z)$ è definito prendendo $x,y,z$ oppure se $B={i,j,k}$ e $v=ai+bj+ck$ è definito su $a,b,c$?
Di fatto nel secondo caso dipende fortemente dalla scelta della base.
Non mi è chiara una cosa:
Il prodotto vettoriale è definito sugli scalari del vettore o sulle componenti rispetto alla base ortonormale?
Per intenderci $v=(x,y,z)$ è definito prendendo $x,y,z$ oppure se $B={i,j,k}$ e $v=ai+bj+ck$ è definito su $a,b,c$?
Di fatto nel secondo caso dipende fortemente dalla scelta della base.
Risposte
Credo di aver capito che tu chieda da cosa dipende il prodotto vettoriale.
Il prodotto vettoriale tra $ w $ e $ v $ è
$ vxxw=\epsilon_[ij]^kv^iw^je_k $ (ovviamente in notazione tensoriale) quindi la sua scrittura è fortemente dipendente dalla base adottata ma muta coordinate come un vettore (la $ i $ e la $ j $ compaiono in forma sia covariante che contravariante e la $ k $ solo covariante e come indice del covettore base).
Il prodotto vettoriale tra $ w $ e $ v $ è
$ vxxw=\epsilon_[ij]^kv^iw^je_k $ (ovviamente in notazione tensoriale) quindi la sua scrittura è fortemente dipendente dalla base adottata ma muta coordinate come un vettore (la $ i $ e la $ j $ compaiono in forma sia covariante che contravariante e la $ k $ solo covariante e come indice del covettore base).
Purtroppo non ho fatto ancora i tensori.
Per fare capirci: sono in $RR^3$
Non fisso una base e voglio calcolare $(3,2,1)times(1,2,3)$ posso?(anche se penso proprio di no)
Al contrario del prodotto scalare che posso anche non fissare una base per calcolarlo.
oppure se fisso una base ${i,j,k}$ e prendo due vettori $v,w$
Per calcolare il loro prodotto vettoriale devo considerare $v=x_1i+y_1j+z_1k$ e $w=x_2i+y_2j+z_2k$
Quindi le componenti rispetto alla base?
Per fare capirci: sono in $RR^3$
Non fisso una base e voglio calcolare $(3,2,1)times(1,2,3)$ posso?(anche se penso proprio di no)
Al contrario del prodotto scalare che posso anche non fissare una base per calcolarlo.
oppure se fisso una base ${i,j,k}$ e prendo due vettori $v,w$
Per calcolare il loro prodotto vettoriale devo considerare $v=x_1i+y_1j+z_1k$ e $w=x_2i+y_2j+z_2k$
Quindi le componenti rispetto alla base?
se non fissi una base allora devi lavorare con un "oggetto intrinseco" (geometrico, reale quello che vuoi, ma indipendente dalle coordinate, in sostanza un tensore), quando tu parli di una terna di numeri per indicare un vettore allora hai già implicitamente assegnato un sistema di coordinate, tuttavia, se fissi delle condizioni che ti permettono di determinare gli angoli fra i vettori base allora puoi calcolare il prodotto vettoriale, devi però "adattare" il determinante al tuo caso specifico.
Tieni presente, però, che assegnare le condizioni sugli angoli è praticamente come assegnare la terna di riferimento, quindi la formula del prodotto vettoriale è perfettamente valida senza cambiamenti nel caso di tre vettori mutuamente ortogonali e di norma unitaria.
Tieni presente, però, che assegnare le condizioni sugli angoli è praticamente come assegnare la terna di riferimento, quindi la formula del prodotto vettoriale è perfettamente valida senza cambiamenti nel caso di tre vettori mutuamente ortogonali e di norma unitaria.
@anto_zoolander,
non capisco che intendi quando scrivi:
Tuttavia per capire, prendi uno spazio vettoriale euclideo \(\Bbb{E}_3\) orientato di dimensione \(3\) con una base ortonormale positiva \(ẞ:=\{ß_1,ß_2,ß_3\}\), allora esiste un´unica applicazione bilineare alternante \(f: \Bbb{E}_3^2 \to \Bbb{E}_3\) ove $$ f((ß_1,ß_2))=ß_3 \,\,\, f((ß_2,ß_3))=ß_1 \,\,\, f((ß_3,ß_1))=ß_2$$ dimostrato ció puoi definire, usare la scrittura, \(x \wedge y\) al posto di \(f((x,y))\) con \(x,y \in \Bbb{E}_3\), e se le componenti di \(x,y\) rispetto ad \(ẞ\) sono risp. \((x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2,y_3)\) dimostrare che $$ x \wedge y = (x_1y_2 - x_2y_1)ß_3 + (x_2y_3 - x_3 y_2)ß_1 + (x_3y_1 - x_1y_3)ß_2$$ (oppure con abuso di scrittura come determinante rispetto alla prima riga della matrice \( \begin{Vmatrix}
ß _1 & ß_2 & ß_3\\
x_1 & x_2 & x_3\\
y_1 & y_2 & y_3
\end{Vmatrix} \))
non capisco che intendi quando scrivi:
"anto_zoolander":cosa sarebbero questi scalari effettivamente? Somiglia piú ad un modo di dire tipico di certi libri di fisica 1...
sugli scalari del vettore
Tuttavia per capire, prendi uno spazio vettoriale euclideo \(\Bbb{E}_3\) orientato di dimensione \(3\) con una base ortonormale positiva \(ẞ:=\{ß_1,ß_2,ß_3\}\), allora esiste un´unica applicazione bilineare alternante \(f: \Bbb{E}_3^2 \to \Bbb{E}_3\) ove $$ f((ß_1,ß_2))=ß_3 \,\,\, f((ß_2,ß_3))=ß_1 \,\,\, f((ß_3,ß_1))=ß_2$$ dimostrato ció puoi definire, usare la scrittura, \(x \wedge y\) al posto di \(f((x,y))\) con \(x,y \in \Bbb{E}_3\), e se le componenti di \(x,y\) rispetto ad \(ẞ\) sono risp. \((x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2,y_3)\) dimostrare che $$ x \wedge y = (x_1y_2 - x_2y_1)ß_3 + (x_2y_3 - x_3 y_2)ß_1 + (x_3y_1 - x_1y_3)ß_2$$ (oppure con abuso di scrittura come determinante rispetto alla prima riga della matrice \( \begin{Vmatrix}
ß _1 & ß_2 & ß_3\\
x_1 & x_2 & x_3\\
y_1 & y_2 & y_3
\end{Vmatrix} \))
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