Domanda topologica su $S^n$
Mi spiegate perchè una sfera dispari non è omotopicamente equivalente ad una sfera pari $S^n$ con $n>1$ è sempre contraibile. Non capisco
Risposte
"squalllionheart":
Mi spiegate perchè una sfera dispari non è omotopicamente equivalente ad una sfera pari $S^n$ con $n>1$ è sempre contraibile. Non capisco
NESSUNA sfera (di dimensione finita) e' contrattile. - Da dove hai tratto l'impressione che lo sia? Il fatto che il gruppo fondamentale sia banale NON implica la contrattibilita'
(e' necessario ma non sufficiente).
Sfere di dimensione diversa non sono omotopicamente equivalenti - non e' una questione di dimostrazione immediata (io lo so fare con i gruppi di omologia - per una dimostrazione piu' diretta dovrei pensarci).
Che cosa stai studiando esattamente (per capire che strumenti hai a disposizione in queste questioni) ?
sto studiando unn corso di topologia in cui si introducono i concetti di omotopia e rivestimento......
Per l'appunto dato che $S^n$ pen $n>1$ sapevo che è ompotopicamente equivalente a un punto nn capisco l'affermazione che fa il mio professore.
Per l'appunto dato che $S^n$ pen $n>1$ sapevo che è ompotopicamente equivalente a un punto nn capisco l'affermazione che fa il mio professore.
Secondo me il tuo prof dice che in $S^n$ per $n>1$ ogni laccio e' contrattile (dentro $S^n$) - detto altrimenti: per $n>1$ $S^n$ e' semplicemente connessa.
ok ma allora la differenza tra $n$ pari e dispari che centra???
"squalllionheart":
ok ma allora la differenza tra $n$ pari e dispari che centra???
Credo che sia piu' facile la dimostrazione che sfere di dimesione pari e sfere di dimensione dispari non possono essere omotopicamente equivalenti -
anche se poi (con strumenti piu' raffinati) si scopre che in realta' sfere di dimensione diversa non lo sono.
A te come e' stato dimostrato? (piu' o meno)
C'è l'affermazione... tutto qua...
come quest'altra che dice siano $GL(n,RR)$ il gruppo lineare allora l'applicazione determinante è continua... Allora io dico chi sono gli aperti è perchè????nn capisco perchè alcune cose le dia per scontato...........
come quest'altra che dice siano $GL(n,RR)$ il gruppo lineare allora l'applicazione determinante è continua... Allora io dico chi sono gli aperti è perchè????nn capisco perchè alcune cose le dia per scontato...........
"squalllionheart":
C'è l'affermazione... tutto qua...
come quest'altra che dice siano $GL(n,RR)$ il gruppo lineare allora l'applicazione determinante è continua... Allora io dico chi sono gli aperti è perchè????nn capisco perchè alcune cose le dia per scontato...........
Con questa vaghezza non so bene cosa dirti. Comunque l'affermazione e' vera - anche se non e' la piu' generale (forse si capira' in seguito dove si vuole arrivare)
In effetti ci sono delle differenze tra sfere pari e sfere dispari (le prime non sono "pettinabili" e le seconde si').
Riguardo al determinante penso che si stia considerando la topologia degli operatori lineari (indotta dalla norma del sup) o (che topologicamente e' lo stesso) che si vedano le matrici $n\times n$
come elementi di $RR^{n^2}$.
Il fatto che si sia nominato il determinante mi fa sospettare che si voglia arrivare alla nozione di grado topologico (che effettivamente permette di distinguere proprieta' delle sfere pari e dispari)
Bohh
Questo professore è eccelso... purtroppo lascia dei concetti troppo vaghi...
Grazie.
Mi potresti fare un esempio di spazio dove le successioni convergono a limiti distinti
Grazie.
Mi potresti fare un esempio di spazio dove le successioni convergono a limiti distinti
Vuoi un esempio in cui una data successione abbia limiti distinti? (quindi una successione in uno spazio non di Hausdorff).
L'esempio banale che mi viene in mente e' di prendere uno spazio con almeno due punti su cui mettere la toplogia banale
(i cui aperti sono solo il vuoto e tutto l'insieme) Allora una qualsiasi successione a valori in tale spazio ha converge a qualunque
punto dello spazio. Ci saranno altri esempi meno banali ma onestamente sono un po' arrugginito in topologia "di base"
L'esempio banale che mi viene in mente e' di prendere uno spazio con almeno due punti su cui mettere la toplogia banale
(i cui aperti sono solo il vuoto e tutto l'insieme) Allora una qualsiasi successione a valori in tale spazio ha converge a qualunque
punto dello spazio. Ci saranno altri esempi meno banali ma onestamente sono un po' arrugginito in topologia "di base"
Esempio prendiamo $S={s_1,s_2}$ quindi la topologia banale su $B(S)={\varphi, S}$.
Io non ho mai definito una successione su uno spazio non euclideo.
Come la definisco concretamente una successione su uno spazio con due punti???
E come faccio a far vedere che effettivamente i limiti sono disitinti?
Grazie in anticipo per la tua disponibilità.
Io non ho mai definito una successione su uno spazio non euclideo.
Come la definisco concretamente una successione su uno spazio con due punti???
E come faccio a far vedere che effettivamente i limiti sono disitinti?
Grazie in anticipo per la tua disponibilità.
beh in questo caso se l'insieme è finito la successione sarà necessariamente costante....
prendi $RR$ con la topologia banale...allora considera una qualunque successione di numeri reali questa la puoi far convergere a qualunque cosa... come diceva prima..ehm nn mi ricordo come si chiama
prendi $RR$ con la topologia banale...allora considera una qualunque successione di numeri reali questa la puoi far convergere a qualunque cosa... come diceva prima..ehm nn mi ricordo come si chiama
"squalllionheart":
Esempio prendiamo $S={s_1,s_2}$ quindi la topologia banale su $B(S)={\varphi, S}$.
Io non ho mai definito una successione su uno spazio non euclideo.
Come la definisco concretamente una successione su uno spazio con due punti???
un'applicazione da $NN$ a valori nello spazio - va bene anche una successione costantemente eguale a $s_1$ - tale successione convergera' sia a $s_1$ che a $s_2$
"squalllionheart":
E come faccio a far vedere che effettivamente i limiti sono disitinti?
prova ad applicare la definizione di limite -
scusami lo so che sono un pò rompipalle. concretamente definiamola
$a:NN->RR$ t.c $n->a_n=?$
Scusami ma il mio cervello è ancora vincolato all'analisi del 1600....
$a:NN->RR$ t.c $n->a_n=?$
Scusami ma il mio cervello è ancora vincolato all'analisi del 1600....
definiscila come $a_n=s_1$ per ogni $n$....
ok fino a li ci arrivavo 
Ma poi come dimostro che i limiti sono distinti??????
Sei tanto buona e giusta da farmi vedere che i limiti effettivamente sono distinti?
Ma poi come dimostro che i limiti sono distinti??????
Sei tanto buona e giusta da farmi vedere che i limiti effettivamente sono distinti?
beh hai un solo aperto quindi applicando la definizione di limite hai che se $a_n$ tende a $s_1$ allora cosa vuol dire che da un certo $n_0$ per ogni $n>n_0$ $a_n$ sta definitivamente in un intorno di $s_1$ ma l'unico intorno che hai è tutto lo spazio!!! ma guarda caso è anche intorno di $s_2$...e dunque $a_n$ tende anche ad $s_2$....
chiaro adessso???
chiaro adessso???
ok. L'idea è che in uno spazio topologico cmq nn è detto che sia metrizzabile, i papabili punti limite sono in un aperto nel nostro caso è solo uno, ogni punto dentro in nostro aperto è il limite. Infine l'aperto è unico.... tutti i punti dell'aperto sono punti limite..........
Ma io non capisco perchè certe cose non le spiegano i proff......... Nel senso che io ragiono in automatico ancora in termini di distanze non di apert. Quindi quand applicavo la definizione pensavo a due punti a distanza piccola, non a punti dentro un aperto...Grazie
Ma io non capisco perchè certe cose non le spiegano i proff.........
Nel senso che io ragiono in automatico ancora in termini di distanze non di apert. Quindi quand applicavo la definizione pensavo a due punti a distanza piccola, non a punti dentro un aperto...Grazie
ragiona sempre con aperti della topologia cosi in generale non sbagli mai xkè è innata in noi l idea che limite abbia a che fare con distanza
prego e alla prossima
prego e alla prossima
prima ci inculcano una cosa... e poi bisogna modificare tutto Maledetti
Grazie
Maledetti Grazie
"squalllionheart":
Ma io non capisco perchè certe cose non le spiegano i proff...
La risposta è semplice; alcune cose, quelle più facili di solito, sono lasciate all'automìnomia di studio dello studente.
Mi sovviene la classica premessa del Cafiero a qualche proposizione non dimostrata: "Lasciamo allo studioso lettore la cura di verificare che...".
"squalllionheart":
Nel senso che io ragiono in automatico ancora in termini di distanze non di apert. Quindi quand applicavo la definizione pensavo a due punti a distanza piccola, non a punti dentro un aperto...
Vuol dire che non hai capito fino in fondo il concetto che sta alla base dello studio della Topologia Generale (di cui quella Metrica è un caso particolarissimo).
Mentre in Topologia Metrica abbiamo un modo per stimare la "vicinanza" di due punti (ossia abbiamo una distanza), in Topologia Generale possiamo solo dire che due punti sono "vicini" senza, in generale, dire quanto lo sono; questa è la fondamentale differenza tra i due tipi di topologia.
La "vicinanza" in Topologia Generale si valuta rispetto agli aperti (od agli intorni, che dir si voglia), nel senso che due punti di uno spazio topologico sono "vicini" se e solo se esiste un aperto che li contiene entrambi.
In uno spazio topologico banale con sostegno avente più di un punto, tutti i punti sono topologicamente vicini; pertanto ogni successione in uno spazio del tipo suddetto converge a tutti i punti dello spazio.
"squalllionheart":
prima ci inculcano una cosa... e poi bisogna modificare tutto.
Strano. Di solito la definizione con gli intorni aperti veniva spiegata anche in Analisi I/II...
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