Domanda sullo studio: forma quadratica
Buonasera,
vorrei potervi porre un'ultima domanda su un aspetto che non mi è chiarissimo riguardo quello che sto studiando.
Prendiamo una forma quadratica indefinita, trovo la matrice associta a questa forma q. e vorrei capire alcune cose tramite lo studio dei realtivi autovalori associati alla matrice.
1) Esistono forme quadratiche che hanno vettori isotropi ma che hanno autovalori tutti diversi da zero?
2) Studiando il polinomio caratteristico e trovando gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica (mettiamo sia indefinita) come faccio a capire se è degenere? Che valore deve assumere lambda perpoter concludere che è certamente degenere la forma quadratica?
Spero possiate rispondere a queste due domande, mi sono figurato le risposte ma vorrei capire se sono conclusioni giuste le mie. Attendo con ansia una vostra risposta.
Vi ringrazio molto, come sempre, per l'aiuto e le spiegazioni
vorrei potervi porre un'ultima domanda su un aspetto che non mi è chiarissimo riguardo quello che sto studiando.
Prendiamo una forma quadratica indefinita, trovo la matrice associta a questa forma q. e vorrei capire alcune cose tramite lo studio dei realtivi autovalori associati alla matrice.
1) Esistono forme quadratiche che hanno vettori isotropi ma che hanno autovalori tutti diversi da zero?
2) Studiando il polinomio caratteristico e trovando gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica (mettiamo sia indefinita) come faccio a capire se è degenere? Che valore deve assumere lambda perpoter concludere che è certamente degenere la forma quadratica?
Spero possiate rispondere a queste due domande, mi sono figurato le risposte ma vorrei capire se sono conclusioni giuste le mie. Attendo con ansia una vostra risposta.
Vi ringrazio molto, come sempre, per l'aiuto e le spiegazioni
Risposte
1) Certo. Prendi la forma quadratica $q: RR^2\rightarrow RR$ tale che $q(x,y)=(x,y)((1,0),(0,-1))((x),(y))=x^2-y^2$.
Gli autovalori sono ovviamente $1$ e $-1$, ma i vettori isotropi sono infiniti, tanti quanti le soluzioni dell'equazione $x^2=y^2$.
2)Che definizione dài di forma quadratica degenere? Il termine "degenere" l'ho sempre sentito riferito a un prodotto scalare/forma bilineare.
Gli autovalori sono ovviamente $1$ e $-1$, ma i vettori isotropi sono infiniti, tanti quanti le soluzioni dell'equazione $x^2=y^2$.
2)Che definizione dài di forma quadratica degenere? Il termine "degenere" l'ho sempre sentito riferito a un prodotto scalare/forma bilineare.
"siddy98":
2)Che definizione dài di forma quadratica degenere? Il termine "degenere" l'ho sempre sentito riferito a un prodotto scalare/forma bilineare.
Parlo qui sotto di bilineari simmetriche...
Sì, esatto, il professore chiama dorma quadratica degenere la forma quadratica associata alla forma bilineare degenere.
In pratica mi chiedevo se trovare un autovalore di valore zero dalla matrice associata alla forma quadratica fosse condizione necessaria e sufficiente per poter concludere che è degenere la forma quadratica (e di conseguenza la bilineare simmetrica)
Sì, in tal caso la presenza di un autovalore nullo è condizione necessaria e sufficiente affinché il prodotto scalare sia degenere. Questo accade perché il nucleo del prodotto scalare è isomorfo al $Ker$ della matrice associata; i dettagli li puoi trovare, credo, in qualsiasi libro di algebra lineare (ma in ogni caso puoi sempre chiedere )
)
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