Domanda sulle funzioni
Buongiorno, faccio questa domanda sulla categoria universitaria perché il concetto di funzione e il suo studio sono più approfonditi rispetto alle superiori. In pratica è per avere sicurezza di ottenere una risposta.
In questi ultimi giorni non sto capendo la relazione tra equazione e funzione.
La definizione più adatta che mi viene in me te adesso è "l'equazione esprime un momento di una funzione (ovviamente sapendo che l'equazione altro non è che una domanda a cui si può rispondere vero o falso)" e fino a qui tutto va bene.
Non so se posso dire però che ad ogni equazione corrisponde una sua funzione e soprattutto se ciò dovesse essere vero perché a livello grafico l'equazione
x^2=0 è diversa da y=x^2, cioè una mi da una retta l'altra una parabola.
E ciò ha incasinato abbastanza la mia vita perché fino a questo momento mi avevano insegnato a risolvere disequazioni ed equazioni di secondo grado tramite la parabola, come se l'equazione fosse veramente la parabola.
Tutto questo è per dire che non sto comprendendo più la relazione tra eq/dis e funzione e vorrei sapere come voi studenti universitari l'avete compresa per riuscire a ridare senso alle mie basi matematiche.
In questi ultimi giorni non sto capendo la relazione tra equazione e funzione.
La definizione più adatta che mi viene in me te adesso è "l'equazione esprime un momento di una funzione (ovviamente sapendo che l'equazione altro non è che una domanda a cui si può rispondere vero o falso)" e fino a qui tutto va bene.
Non so se posso dire però che ad ogni equazione corrisponde una sua funzione e soprattutto se ciò dovesse essere vero perché a livello grafico l'equazione
x^2=0 è diversa da y=x^2, cioè una mi da una retta l'altra una parabola.
E ciò ha incasinato abbastanza la mia vita perché fino a questo momento mi avevano insegnato a risolvere disequazioni ed equazioni di secondo grado tramite la parabola, come se l'equazione fosse veramente la parabola.
Tutto questo è per dire che non sto comprendendo più la relazione tra eq/dis e funzione e vorrei sapere come voi studenti universitari l'avete compresa per riuscire a ridare senso alle mie basi matematiche.
Risposte
Ciao
Proviamo con qualche definizione?
Una equazione è una UGUAGLIANZA tra due espressioni di cui almeno una letterale
Es
x+y=4
3x-5y=z
x^2+y^2=1
x^2-4x+4=y
x^2-4x+4=0
Sono equazioni
Qualcuna di queste può essere interpretata come una funzione?
Proviamo con qualche definizione?
Una equazione è una UGUAGLIANZA tra due espressioni di cui almeno una letterale
Es
x+y=4
3x-5y=z
x^2+y^2=1
x^2-4x+4=y
x^2-4x+4=0
Sono equazioni
Qualcuna di queste può essere interpretata come una funzione?
@ gio_73: Permettimi di essere un po' più preciso.
Innanzitutto, definiamo cos'è una funzione.
Questo si può fare in vari modi, ma una definizione operativa "decente" è quella che segue:
[Un'altra possibile definizione è quella che usa la nozione di coppia ordinata e che è usualmente presentata sui testi delle scuole superiori e dell'università.]
Detto ciò, diamo anche una definizione di equazione, che non è:
(questa è proprio da scuole medie... Coglie solo l'aspetto morfologico della faccenda e neanche in modo sensato).
Un po' più seriamente, possiamo dire che:
La (*), che è la proprietà caratteristica delle soluzioni, è anche il simbolo che si usa comunemente per esprimere sinteticamente il problema; quindi, di solito, si dicono cose del tipo "consideriamo l'equazione $f(x) = \bar{y}$", o "le soluzioni di $f(x) = \bar{y}$", etc... in cui l'abuso di linguaggio è evidente, ma tollerato.
[Sono possibili altre nozioni -un po' più larghe- di equazione, ma per ora ci basta questa che è quella già familiare dalle scuole medie.]
Tanto per capire la portata della definizione precedente, facciamo un po' di esempi.
Osservo che entrambe le equazioni del 4° punto non hanno né a primo né a secondo membro alcuna lettera... Quindi la definizione delle scuole medie non è questo granché.
***
Infine, per venire alla domanda di OP...
Un'equazione non è una funzione, né è un grafico (come quello di una parabola), né è il metodo con cui si risolve.
Un'equazione è un problema .
In particolare, è il problema che ti chiede di stabilire se (e dove e in quanti punti) un'assegnata funzione $f$ assume o meno un certo valore $\bar{y}$ appartenente al codominio.
Innanzitutto, definiamo cos'è una funzione.
Questo si può fare in vari modi, ma una definizione operativa "decente" è quella che segue:
Una funzione $f$ è una terna ordinata $(X,Y, x\mapsto y)$ in cui:
- $X$ è un insieme (non vuoto per evitare casi banali) detto dominio di $f$ ,
- $Y$ è un altro insieme (non vuoto, per lo stesso motivo, e non necessariamente diverso da $X$) detto codominio di $f$ ,
- $x \mapsto y$ è una corrispondenza (espressa in qualche modo, e.g. attraverso una formula esplicita) che ad ogni elemento $x \in X$ associa un unico elemento $y \in Y$.
Per indicare che la funzione $f$ ha dominio $X$ e codominio $Y$ si scrive $f: X \to Y$ oppure $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$ (che si legge: "$f$ è una funzione di $X$ in $Y$").
Visto che l'elemento $y\in Y$ corrispondente ad $x \in X$, detto immagine di $x$ mediante $f$ , è univocamente determinato dalla $f$ e dalla scelta di $x$, si è soliti scrivere:
$y= f(x)$
(che si legge: "$y$ uguale $f$ di $x$") per indicare la corrispondenza $x \mapsto y$.
[Un'altra possibile definizione è quella che usa la nozione di coppia ordinata e che è usualmente presentata sui testi delle scuole superiori e dell'università.]
Detto ciò, diamo anche una definizione di equazione, che non è:
gio_73:
un'uguaglianza tra due espressioni di cui almeno una letterale
(questa è proprio da scuole medie... Coglie solo l'aspetto morfologico della faccenda e neanche in modo sensato).
Un po' più seriamente, possiamo dire che:
Data una funzione $f:X \to Y$ e scelto un elemento $\bar{y} \in Y$, si chiama equazione il problema di determinare se esistono, ed eventualmente calcolare esplicitamente, elementi $x \in X$ che hanno per immagine tramite $f$ proprio l'elemento $\bar{y}$, ossia tali che:
(*) $f(x) = \bar{y}$.
Gli elementi $x \in X$ che soddisfano la (*) si chiamano soluzioni dell'equazione .
La (*), che è la proprietà caratteristica delle soluzioni, è anche il simbolo che si usa comunemente per esprimere sinteticamente il problema; quindi, di solito, si dicono cose del tipo "consideriamo l'equazione $f(x) = \bar{y}$", o "le soluzioni di $f(x) = \bar{y}$", etc... in cui l'abuso di linguaggio è evidente, ma tollerato.
[Sono possibili altre nozioni -un po' più larghe- di equazione, ma per ora ci basta questa che è quella già familiare dalle scuole medie.]
Tanto per capire la portata della definizione precedente, facciamo un po' di esempi.
- Se fissiamo $X= \mathbb{R} = Y$ ed $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = 2x + 3$, e scegliamo $\bar{y} = 4$, l'equazione:
- Se fissiamo $X=\{ \text{parole del dizionario italiano}\}$, $Y=\{\text{lettere dell'alfabeto italiano/latino}\}$ (come lo si vuole chiamare) ed $f:X \to Y$ con $f(x) = \text{iniziale della parola } x$ (questa legge evidentemente individua una funzione perché ogni parola di $X$ ha un'unica iniziale in $Y$), e scegliamo $\bar{y} = \text{g}$, l'equazione:
- Se fissiamo $X = \{\text{nomi utente degli utenti del forum al 08/04/'25}\}$, $Y=\{\text{stringa finita di caratteri alfanumerici}\}$ ed $f:X\to Y$ con $f(x) = x$ (questa legge individua una funzione perché il nome utente $x$ è una stringa finita di caratteri alfanumerici), e se scegliamo $\bar{y} = \text{X3R7T9Q2PL}$, l'equazione:
- Se fissiamo $X=\mathbb{R} = Y$ ed $f:X\to Y$ con $f(x) = 1$, e scegliamo $\bar{y} = 0$, l'equazione:
$f(x) = \bar{y}\quad \Leftrightarrow\quad 2x+3=4$
è il problema di determinare i possibili numeri reali $x$ il cui doppio sommato a $3$ dà $4$; quest'equazione è lineare e la sua soluzione, che è unica, è $x = 1/2$ e si ricava sfruttando tutto l'armamentario di tecniche apprese tra i banchi.
$f(x) = \bar{y} \quad \Leftrightarrow \quad \text{iniziale della parola } x = \text{g}$
è il problema di determinare tutte le possibili parole $x$ del dizionario che iniziano per $\text{g}$; l'equazione ha tante soluzioni (ma in numero finito), che sono -appunto- tutte e sole le parole del dizionario italiano che iniziano con la lettera $\text{g}$.
$f(x) = \bar{y} \quad \Leftrightarrow \quad x = \text{X3R7T9Q2PL}$
è il problema di stabilire se nell'elenco dei nomi utente degli utenti del forum fino ad oggi c'è qualcuno che si chiama $\text{X3R7T9Q2PL}$; l'equazione non ha soluzione (come si può vedere facendo una ricerca).
$f(x) = \bar{y} \quad \Leftrightarrow \quad 1 = 0$
è il problema di determinare se esistono numeri reali $x$ per cui $1 = 0$; questa equazione è evidentemente impossibile, nel senso che non ha alcuna soluzione.
Se, invece, scegliamo $\bar{y} = 1$, l'equazione:
$f(x) = \bar{y} \quad \Leftrightarrow \quad 1 = 1$
è il problema di determinare se esistono numeri reali $x$ per cui $1=1$; questa equazione è evidentemente soddisfatta da ogni numero reale.
Osservo che entrambe le equazioni del 4° punto non hanno né a primo né a secondo membro alcuna lettera... Quindi la definizione delle scuole medie non è questo granché.
***
Infine, per venire alla domanda di OP...
Un'equazione non è una funzione, né è un grafico (come quello di una parabola), né è il metodo con cui si risolve.
Un'equazione è un problema .
In particolare, è il problema che ti chiede di stabilire se (e dove e in quanti punti) un'assegnata funzione $f$ assume o meno un certo valore $\bar{y}$ appartenente al codominio.
Gugo permettendo vorrei aggiungere un paio di considerazioni.
In primo luogo vorrei dare una descrizione differente di equazione, soltanto perché vorrei sottolineare una cosa che magari non è molto chiara con la definizione di gugo.
Un possibile approccio per definire "equazione" te lo ha dato gugo. Un'altro possibile approccio è il seguente. Dato un linguaggio $L$, un'equazione è una proposizione $E(x_1,\ldots,x_n)$ della forma $p(x_1,\ldots,x_n) = q(x_1,\ldots,x_n)$ dove $x_j$ è una variabile libera per ogni $1\leq j \leq n$. E dove $p,q$ sono termini, ovvero espressioni formate da simboli di costanti, simboli di variabili, operazioni, e che possono essere valutate nel universo $U$. Pertanto un equazione può essere visto come un oggetto che valutato può prendere valori di vero oppure falso quando $x_1,\ldots,x_n$ sono rimpiazzati da elementi del universo. Un equazione può essere quindi definita come la seguente funzione
Quando si "risolve" un equazione si cerca $E^{-1}(\text{vero}) \subseteq U$. Nota che a priori è possibile avere $E^{-1}(\text{vero})=\emptyset$, ad esempio $x^2=-1$ quando $U= \mathbb{R}$. E' anche possibile avere $E^{-1}(\text{vero})=U$, ad esempio $x=x$.
Prendiamo un esempio più interessante. L'equazione che descrive un cerchio unitario in $\mathbb{R}^2$. Ovvero $x^2+y^2=1$. Con la definizione di equazione di cui sopra abbiamo che possiamo vederla come la funzione seguente
Inoltre abbiamo che $E^{-1}(\text{vero})$ è il cerchio di raggio $1$ centrato in $(0,0)$.
E' invece sbagliato affermare che l'equazione ci permette di definire $y$ in funzione di $x$. Poiché esiste almeno un $x$ tale per cui ci sono più valori di $y$ associati. Per simmetria non possiamo nemmeno definire $x$ in funzione di $y$.
Tornando alla domanda originale. Per semplicità diciamo che l'universo $U=\mathbb{R}$. Prendiamo la notazione di cui sopra e prendiamo un equazione $E(x)$ del tipo $p(x)=q(x)$. Ora quando $p$ e $q$ sono funzioni entrambi con dominio e codominio $\mathbb{R}$ abbiamo che l'equazione è rappresentata in modo naturale dalla funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $x \mapsto p(x)-q(x)$. Questo ovviamente perché $E^{-1}(\text{vero})= f^{-1}(0)$. La tua confusione forse nasce da qui. Sebbene i due insiemi sono lo stesso insieme l'equazione $E$ non è la funzione $f$ e viceversa $f$ non è l'equazione $E$.
Torniamo al esempio precedente. E' vero che possiamo definire la funzione
si ha ora che $E^{-1}(\text{vero})=f^{-1}(0)$.
ps: che tristezza sto nuovo forum :( ho risposto solo perché mi è piaciuta la domanda
In primo luogo vorrei dare una descrizione differente di equazione, soltanto perché vorrei sottolineare una cosa che magari non è molto chiara con la definizione di gugo.
Un possibile approccio per definire "equazione" te lo ha dato gugo. Un'altro possibile approccio è il seguente. Dato un linguaggio $L$, un'equazione è una proposizione $E(x_1,\ldots,x_n)$ della forma $p(x_1,\ldots,x_n) = q(x_1,\ldots,x_n)$ dove $x_j$ è una variabile libera per ogni $1\leq j \leq n$. E dove $p,q$ sono termini, ovvero espressioni formate da simboli di costanti, simboli di variabili, operazioni, e che possono essere valutate nel universo $U$. Pertanto un equazione può essere visto come un oggetto che valutato può prendere valori di vero oppure falso quando $x_1,\ldots,x_n$ sono rimpiazzati da elementi del universo. Un equazione può essere quindi definita come la seguente funzione
[math]E : U \to \{ \text{vero},\text{falso} \}[/math]
[math]x \mapsto \text{vero se} p(x)=q(x)[/math]
[math]x \mapsto \text{falso se} p(x) \neq q(x)[/math]
Quando si "risolve" un equazione si cerca $E^{-1}(\text{vero}) \subseteq U$. Nota che a priori è possibile avere $E^{-1}(\text{vero})=\emptyset$, ad esempio $x^2=-1$ quando $U= \mathbb{R}$. E' anche possibile avere $E^{-1}(\text{vero})=U$, ad esempio $x=x$.
Prendiamo un esempio più interessante. L'equazione che descrive un cerchio unitario in $\mathbb{R}^2$. Ovvero $x^2+y^2=1$. Con la definizione di equazione di cui sopra abbiamo che possiamo vederla come la funzione seguente
[math]E : \mathbb{R}^2 \to \{ \text{vero},\text{falso} \}[/math]
[math](x,y) \mapsto \text{vero se} x^2+y^2=1[/math]
[math](x,y) \mapsto \text{falso se} x^2+y^2 \neq 1[/math]
Inoltre abbiamo che $E^{-1}(\text{vero})$ è il cerchio di raggio $1$ centrato in $(0,0)$.
E' invece sbagliato affermare che l'equazione ci permette di definire $y$ in funzione di $x$. Poiché esiste almeno un $x$ tale per cui ci sono più valori di $y$ associati. Per simmetria non possiamo nemmeno definire $x$ in funzione di $y$.
Tornando alla domanda originale. Per semplicità diciamo che l'universo $U=\mathbb{R}$. Prendiamo la notazione di cui sopra e prendiamo un equazione $E(x)$ del tipo $p(x)=q(x)$. Ora quando $p$ e $q$ sono funzioni entrambi con dominio e codominio $\mathbb{R}$ abbiamo che l'equazione è rappresentata in modo naturale dalla funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $x \mapsto p(x)-q(x)$. Questo ovviamente perché $E^{-1}(\text{vero})= f^{-1}(0)$. La tua confusione forse nasce da qui. Sebbene i due insiemi sono lo stesso insieme l'equazione $E$ non è la funzione $f$ e viceversa $f$ non è l'equazione $E$.
Torniamo al esempio precedente. E' vero che possiamo definire la funzione
[math]f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/math]
[math](x,y) \mapsto x^2+y^2-1[/math]
si ha ora che $E^{-1}(\text{vero})=f^{-1}(0)$.
ps: che tristezza sto nuovo forum :( ho risposto solo perché mi è piaciuta la domanda
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