Domanda sulla similitudine di matrici
ma la definizione "classica" non era mica che due matrici A e B quadrate dello stesso ordine sono simili se esiste una matrice non singolare P tale che $B=P^-1AP$??
da dove salta fuori invece che la matrice A è simile alla matrice B se hanno gli stessi autovalori ed A è diagonalizzabile? questo non è nel caso in cui una delle due matrici è diagonalizzabile?
da dove salta fuori invece che la matrice A è simile alla matrice B se hanno gli stessi autovalori ed A è diagonalizzabile? questo non è nel caso in cui una delle due matrici è diagonalizzabile?
Risposte
La similitudine è una relazione di equivalenza (perché?). Quindi se A è simile a B e A è diagonale, segue che A è simile a una matrice diagonale, quindi pure B è simile a una matrice diagonale e quindi diagonalizzabile.
Inoltre [tex]\det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}AP - \lambda P^{-1}P) = \det(P^{-1}(B - \lambda I)P) = \det(P)^{-1} \det(B[/tex][tex]- \lambda I) \det (P) = \det (B - \lambda I)[/tex] (sei invitato a giustificare tutti questi passaggi per bene!)
Quindi se due matrici sono simili, hanno lo stesso polinomio caratteristico e, pertanto, gli stessi autovalori.
Inoltre [tex]\det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}AP - \lambda P^{-1}P) = \det(P^{-1}(B - \lambda I)P) = \det(P)^{-1} \det(B[/tex][tex]- \lambda I) \det (P) = \det (B - \lambda I)[/tex] (sei invitato a giustificare tutti questi passaggi per bene!)
Quindi se due matrici sono simili, hanno lo stesso polinomio caratteristico e, pertanto, gli stessi autovalori.
quindi sotto alla definizio "classica" di similitudine c'è questo fatto di avere gli stessi autovalori...ottimo questo non ci avevo mai pensato/arrivato/fatto caso
Sì, ma solo a patto che siano diagonalizzabili!
Ad esempio
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
sono due matrici con gli stessi autovalori, ma che non sono simili. Perché dico che non possono essere simili??
Ad esempio
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
sono due matrici con gli stessi autovalori, ma che non sono simili. Perché dico che non possono essere simili??
"maurer":
Sì, ma solo a patto che siano diagonalizzabili!
Ad esempio
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex] e [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
sono due matrici con gli stessi autovalori, ma che non sono simili. Perché dico che non possono essere simili??
perchè matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico ma non è detto che avere lo stesso polinomio caratteristico implica l'essere simili
per quanto riguarda questo
[tex]\det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}AP - \lambda P^{-1}P) = \det(P^{-1}(B - \lambda I)P) = \det(P)^{-1} \det(B[/tex][tex]- \lambda I) \det (P) = \det (B - \lambda I)[/tex] (sei invitato a giustificare tutti questi passaggi per bene!) mi sono perso dopo il secondo uguale
Non hai risposto alla mia domanda. Volevo sapere perché le due matrici che ho scritto non possono essere simili. Ossia: giustifica il fatto che non esiste [tex]P[/tex] invertibile tale che [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = P^{-1} \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) P[/tex]???
Per l'altra questione, nel punto che indichi, ho semplicemente raccolto [tex]P^{-1}[/tex] a sinistra e [tex]P[/tex] a destra. Nei passaggi successivi invece che teorema ho usato?
Per l'altra questione, nel punto che indichi, ho semplicemente raccolto [tex]P^{-1}[/tex] a sinistra e [tex]P[/tex] a destra. Nei passaggi successivi invece che teorema ho usato?
"maurer":
Non hai risposto alla mia domanda. Volevo sapere perché le due matrici che ho scritto non possono essere simili. Ossia: giustifica il fatto che non esiste [tex]P[/tex] invertibile tale che [tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = P^{-1} \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) P[/tex]???
Per l'altra questione, nel punto che indichi, ho semplicemente raccolto [tex]P^{-1}[/tex] a sinistra e [tex]P[/tex] a destra. Nei passaggi successivi invece che teorema ho usato?
oddio ora dopo tutto oggi non so darti una risposta...non riuscivo a risolvere un banale sistema di 3 equazioni con 3 incognite non riesco a darti una risposta su questo.teorema non mi viene in mente nessuno semplicemente una proprieta dei determinanti così dicendo qualcosa
Il teorema è il teorema di Binet, che dice che [tex]\det(AB) = \det(A) \det(B)[/tex].
La risposta alla prima domanda è che quella relazione, che peraltro ho scritto sbagliata, equivale a
[tex]P \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) P^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
e il primo membro è sempre la matrice identità perché l'identità commuta con tutte le altre matrici.
La risposta alla prima domanda è che quella relazione, che peraltro ho scritto sbagliata, equivale a
[tex]P \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) P^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
e il primo membro è sempre la matrice identità perché l'identità commuta con tutte le altre matrici.
la conclusione di quell'identità qual'é? è che le matrici non sono simili? non ho capito il motivo allora
No. Il ragionamento è: se le matrici fossero simili avremmo quell'identità. Quell'identità non può sussistere. Assurdo. Quindi le due matrici non sono simili.
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