Domanda sulla diagonalizzazione

[Andrea9905]

Salve a tutti,
Io sono nuovo della community... ho saputo da alcuni miei amici che molti dubbi di
algebra lineare vengono risolti dal personale e dagli iscritti di questo sito...

Ecco il seguente esercizio:

In C_3X3 si diagonalizzi la matrice

| 2 -3|
A=| |
| 3 2|

Mi sembrava un esercizio banale...
Vado a risolvere il polinomio caratteristico ottengo giustamente due autovalori:

x_1= 2+ i*sqrt(3)
x_2= 2- i*sqrt(3)

In tal modo mi sono trovato i due autospazi realtivi agli autovalori.

Il problema arriva quando devo andare a sostituire alla x della formula:

A-xI

i 2 autovalori trovati...

ottengo ogni volta una matrice diversa il cui kernel non riesco a trovarlo...

Qualcuno mi può dare una mano?

Grazie,
Andrea

[mistake89]

per piacere usa le formule, altrimenti diventa difficile!
Ciao

[Andrea9905]

Scusa... non sapevo come fare

Ecco il seguente esercizio:

$((2,-3),(3,2))$


Vado a risolvere il polinomio caratteristico e ottengo giustamente due autovalori:

$\lambda_1=2+i*sqrt(3)$
$\lambda_2=2-i*sqrt(3) $

Il problema arriva quando devo andare a sostituire alla $\lambda$ della formula:

$A-\lambdaI$

i 2 autovalori trovati...

CASO $\lambda_1=2+i*sqrt(3)$

$A-2+i*sqrt(3)*I=((-i*sqrt(3),-3),(3,-i*sqrt(3)))$

CASO $\lambda_2=2-i*sqrt(3)$

$A-2+i*sqrt(3)*I=((i*sqrt(3),-3),(3,i*sqrt(3)))$

Il ker di ogni matrice da quali vettori è generato?
C'è un metodo + semplice?

Andrea

[Andrea9905]

Scusa... non sapevo come fare

Ecco il seguente esercizio:

$((2,-3),(3,2))$


Vado a risolvere il polinomio caratteristico e ottengo giustamente due autovalori:

$\lambda_1=2+i*sqrt(3)$
$\lambda_2=2-i*sqrt(3) $

Il problema arriva quando devo andare a sostituire alla $\lambda$ della formula:

$A-\lambdaI$

i 2 autovalori trovati...

CASO $\lambda_1=2+i*sqrt(3)$

$A-(2+i*sqrt(3))*I=((-i*sqrt(3),-3),(3,-i*sqrt(3)))$

CASO $\lambda_2=2-i*sqrt(3)$

$A-(2-i*sqrt(3))*I=((i*sqrt(3),-3),(3,i*sqrt(3)))$

Il ker di ogni matrice da quali vettori è generato?
C'è un metodo + semplice?

Andrea

[Andrea9905]

Scusa... non sapevo come fare

Ecco il seguente esercizio:

$((2,-3),(3,2))$


Vado a risolvere il polinomio caratteristico e ottengo giustamente due autovalori:

$\lambda_1=2+i*sqrt(3)$
$\lambda_2=2-i*sqrt(3) $

Il problema arriva quando devo andare a sostituire alla $\lambda$ della formula:

$A-\lambdaI$

i 2 autovalori trovati...

CASO $\lambda_1=2+i*sqrt(3)$

$A-(2+i*sqrt(3))*I=((-i*sqrt(3),-3),(3,-i*sqrt(3)))$

CASO $\lambda_2=2-i*sqrt(3)$

$A-(2-i*sqrt(3))*I=((i*sqrt(3),-3),(3,i*sqrt(3)))$

Il ker di ogni matrice da quali vettori è generato?
C'è un metodo + semplice?

Andrea

[ImpaButty]

Credo che la matrice non sia diagonalizzabile.
Se non sbaglio, infatti, per esserlo dovrebbe avere tutti gli autovalori reali.

[Andrea9905]

"ImpaButty":Credo che la matrice non sia diagonalizzabile.
Se non sbaglio, infatti, per esserlo dovrebbe avere tutti gli autovalori reali.

Questo se siamo in $RR^2x2$, se siamo invece in $CC^2x2$ le soluzioni esistono eccome...no?

[ImpaButty]

giusto, non avevo fatto caso a questo "piccolo" particolare...

[homeinside-votailprof]

In forma matriciale:
AX=0

prova a moltiplicare ogni matrice per la matrice delle incognite ponendoli uguali a zero e dopo ti risolvi il sistema e trovi il Ker, dai un valore arbitrario alle incognite libere e trovi una base per gli autospazi di R^2.
Credo sia corretto

[mistake89]

A cosa ti serve digonalizzare per trovare il $ker$?

[homeinside-votailprof]

forse gli serve il ker per diagonalizzare^ non il contrario

[Andrea9905]

"IntoTheWild":In forma matriciale:
AX=0

prova a moltiplicare ogni matrice per la matrice delle incognite ponendoli uguali a zero e dopo ti risolvi il sistema e trovi il Ker, dai un valore arbitrario alle incognite libere e trovi una base per gli autospazi.
Credo sia corretto

Avevo provato a farlo... solo che non ottengo nessun risultato...
Ad esempio un possibile vettore per $/lambda_1$ è:

$((-i*sqrt(3)),(1))$

ma tale vettore mi verifica solo la riga 2 della matrice:

$((-i*sqrt(3),-3),(3,-i*sqrt(3)))$

Giusto?

[Andrea9905]

"mistake89":A cosa ti serve digonalizzare per trovare il $ker$?

Il mio scopo è diagonalizzare questa matrice... Con il ker non ottengo una matrice H invertibile?

[homeinside-votailprof]

non si può diagonalizzare!

[mistake89]

perchè non sarebbe diagonalizzabile? E poi scusate, se io ho due autovalori, di molteplicità algebrica $>1$ devo cercare i relativi autospazi e verificare che abbiano esattamente la stessa molteplicità algebrica e geometrica...
Il resto non riesco proprio a comprenderlo

[Andrea9905]

"mistake89":perchè non sarebbe diagonalizzabile? E poi scusate, se io ho due autovalori, di molteplicità algebrica $>1$ devo cercare i relativi autospazi e verificare che abbiano esattamente la stessa molteplicità algebrica e geometrica...
Il resto non riesco proprio a comprenderlo

Io ho imparata a farla in questo modo la diagonalizzazione... su matematicamente ho trovato un es svolto che è esattamente come il metodo che conosco:

https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... eare$f:((x),(y),(z))-%3E((-11y%2B9z),(x-3z),(x-3y))$e_diagonalizzabile._200901075027/

[Andrea9905]

Sennò mandami tu una tua personale soluzione al problema...

[mistake89]

come ti ho detto sopra, calcolata la molteplicità geometria... se essa coincide con quella algebrica allora è diagonalizzabile altrimenti no.

[Andrea9905]

Il fatto è che... non ci crederai... ma il mio professore non ha mai parlato di molteplicità algebrica... sul libro non esiste... sono di ingegneria delle telecomunicazioni non di matematica... non so se il motivo sia questo...

[homeinside-votailprof]

Lo sai anche il mio professore non mi ha mai parlato di questi argomenti...e io ho cominciato ad immaginare iiiiiiiiiiiiiiiiii, però lui mi vuole bene una volta ci siamo presi una cioccolata calda insieme

[mistake89]

sono io che non riesco a comprenderti... anche perchè la molteplicità geometrica di un autovalore è sempre maggiore di $0$