Domanda sul prodotto scalare
Ciao a tutti 
vorrei chiedere dei chiarimenti su questo esercizio riguardante il prodotto scalare,
Sia $ < ,> $ un prodotto scalare in $ mathbb(R^3) $ (non necessariamente definito positivo e non necessariamente non degenere) e si fissi un vettore $ uin mathbb(R^3) $ non nullo:
1) si dimosrtri che $ f:mathbb(R^3|-> mathbb(R^3) ,f(v)= $ è un'applicazione lineare e si dia un esempio concreto (cioè una scelta di $ u $ e di $ < ,> $ ) in cui $ f $ è un isomorfismo e un altro esempio concreto in cui non lo è
2) sia $ W=[vin mathbb(R^3 | < u,v>)=0] $ . Si dimostri che $ W $ è un sottospazio vettoriale di $ mathbb(R^3) $ . Se il prodotto scalare è definito positivo qual è la sua dimensione?
Riguardo al primo punto non so come agire perchè credo che il prodotto scalare essendo un' applicazione bilineare simmetrica che va dal prodotto cartesiano ai reali, non può essere un'applicazione lineare che va da uno spazio vettoriale ad un altro, dunque non so come procedere con la dimostrazione.
E riguardo al secondo so che devo verificare se W è chiuso rispetto a somma e prodotto e se contiene lo 0 ma all'atto pratico con il prodotto scalare non so come fare.
vorrei chiedere dei chiarimenti su questo esercizio riguardante il prodotto scalare,Sia $ < ,> $ un prodotto scalare in $ mathbb(R^3) $ (non necessariamente definito positivo e non necessariamente non degenere) e si fissi un vettore $ uin mathbb(R^3) $ non nullo:
1) si dimosrtri che $ f:mathbb(R^3|-> mathbb(R^3) ,f(v)=
2) sia $ W=[vin mathbb(R^3 | < u,v>)=0] $ . Si dimostri che $ W $ è un sottospazio vettoriale di $ mathbb(R^3) $ . Se il prodotto scalare è definito positivo qual è la sua dimensione?
Riguardo al primo punto non so come agire perchè credo che il prodotto scalare essendo un' applicazione bilineare simmetrica che va dal prodotto cartesiano ai reali, non può essere un'applicazione lineare che va da uno spazio vettoriale ad un altro, dunque non so come procedere con la dimostrazione.
E riguardo al secondo so che devo verificare se W è chiuso rispetto a somma e prodotto e se contiene lo 0 ma all'atto pratico con il prodotto scalare non so come fare.
Risposte
Per quanto riguarda il punto $(1)$ ti stai sbagliando sulla seguente cosa: un prodotto scalare è in generale un'applicazione bilineare e simmetrica da $V$ $\times$ $V$ $\to$ $K$ dove $V$ è uno spazio vettoriale e $K$ è un campo. Ora il tuo prodotto pertanto è definito da $\mathbb{R}^3$ $\times$ $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ quindi se fissi $v$ $\in$ $\mathbb{R}^3$ e chiami $f_v$ : $\mathbb{R}^3$ $\to$ $\mathbb{R}^3$ tale che $f_v(u)=$ è chiaro che essendo $<,>$ bilineare ne consegue che $f_v$ è lineare. Se vuoi:
$$ u_1+u_2 \to\\ =\ +\ =\ f_v(u_1)+f_v(u_2)$$
$$cu_1 \to\\ =\ c\ =\ c\cdot f_v(u_1)\ (con\ c\ costante) $$
Se vuoi un isomorfismo potrebbe essere quello che a $u$ e $v$ associa $u \cdot v$ inteso come vettore che ha per componenti il prodotto delle corrispondenti componenti di $u$ e $v$; è facile vedere che questa è un'applicazione bilineare e simmetrica e che se prendi $v=1$ allora $f_v$ è l'identità di $\mathbb{R}^3$. $\\$
Questo completa il punto $(1)$, ora penso un attimo anche al punto $(2)$ e provo a risolverti anche quello.
$$ u_1+u_2 \to\
$$cu_1 \to\
Se vuoi un isomorfismo potrebbe essere quello che a $u$ e $v$ associa $u \cdot v$ inteso come vettore che ha per componenti il prodotto delle corrispondenti componenti di $u$ e $v$; è facile vedere che questa è un'applicazione bilineare e simmetrica e che se prendi $v=1$ allora $f_v$ è l'identità di $\mathbb{R}^3$. $\\$
Questo completa il punto $(1)$, ora penso un attimo anche al punto $(2)$ e provo a risolverti anche quello.
Ok il secondo punto è così:
$W=\{v\in \mathbb{R}^3 |\ =0 \}$. $\\$
1) $0 \in W$ infatti $<0,u>\ =0$ poiché sappiamo che il prodotto è bilineare ed in particolare $\ =\ c$ $\forall$ $c\in K$ e quindi in particolare per $c=0$. $\\$
2)$v_1+v_2 \in W$ se $v_1$ e $v_2 \in W$. Infatti sempre per bilinearità ho che: $\ =\ +\ =\ 0+0\ =\0$.$\\$
3) infine se $c\in K$ e $v$ $\in W$ ho che $c\cdot v \in W$ poiché $\ =\ c\=\ c\cdot 0\ =\0$. $\\$
Quindi è dimostrato che W è uno spazio vettoriale. Ma una domanda..in $W$ si richiede che $\ =\ 0 \forall u \in \mathbb{R}^3$ o solo per un $u$ fissato?
$W=\{v\in \mathbb{R}^3 |
1) $0 \in W$ infatti $<0,u>\ =0$ poiché sappiamo che il prodotto è bilineare ed in particolare $
2)$v_1+v_2 \in W$ se $v_1$ e $v_2 \in W$. Infatti sempre per bilinearità ho che: $
3) infine se $c\in K$ e $v$ $\in W$ ho che $c\cdot v \in W$ poiché $
Quindi è dimostrato che W è uno spazio vettoriale. Ma una domanda..in $W$ si richiede che $
il testo dell'esericizio è quello che ho scritto, nè più nè meno, quindi penso faccia riferimento alla premessa dei 2 punti che dice "e si fissi un vettore $ uin mathbb(R^3) $ non nullo .
In ogni caso grazie mille delle delucidazioni, sei stato molto chiaro
In ogni caso grazie mille delle delucidazioni, sei stato molto chiaro
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