Domanda sul calcolo di autovettori, autovalori, autospazi...

[BoG3]

partiamo con questa matrice:

$A=((-2,1),(1,-2))$

$P(lambda) = det|A-lambdaI| = ((-2-lambda,1),(1,-2-lambda)) = (-2-lambda)^2 - 1 = lambda^2+4lambda +3$

ottengo: $lambda_1 = -1$ e $lambda_2 = -3$

Per calcolare gli autospazi (se non ricordo male lo spelling) faccio:

$E_-1 $:

${(-2x + y=lambdax),(x - 2y=lambday):}$

${(-2x + y=-x),(x - 2y=-y):}$ ed ottengo ${(y=x),(x=y):}$

quindi l'autospazio è: ${t*(1,1)}$ ed infatti torna !!

invece per l'autospazio di $E_-3$:

${(-2x + y=-3x),(x - 2y=-3y):}$ ed ottengo ${(y=-x),(x=-y):}$

quindi l'autospazio DOVREBBE ESSERE: ${t*(-1,-1)}$ ed invece è: ${t*(-1,1)}$.

Ovviamnete il mio DOVREBBE ESSERE è quello che pensavo all'inizio, finche' non ho visto la soluzione sul libro.

Ditemi ... una volta risolto il sistema ${(-2x + y=lambdax),(x - 2y=lambday):}$ per ogni autovalore, quall'e' il ragionamento che devo fare per non incorrere in un errore come quello che ho fatto? Il trucca sta nel dire: siccome (prendo l'esempio da sopra) ${(y=-x),(x=-y):}$ sostituisco prima ad $x$ un numero come ad esempio $1$ ed ottengo $y=-1$ poi lo sostituisco nell'equazione sottostante ed ottengo $x=-y$ -> $x=1$.

Quindi posso dire che $t*(1,-1)$ è una base dell'autospazio? ma allora anche $*(-1,1)$ ?? e questo dovrebbe valere per qualunque $t appartenente a RR$? scusate ma nn so fare il segno di appartenenza con il codice .

grazie a tutti.

spero nn ci siano troppe cazzate

[adaBTTLS1]

non so in che senso hai detto "dovrebbe essere", ma da x=-y (o y=-x) si deduce che x ed y devono avere segno opposto e quindi dovrebbe essere {t*(-1, 1)} (o indifferentemente {t*(1, -1)}. (giusto $AA t in RR$, quindi se prendi valori opposti di t gli elementi dei "due" spazi si invertono, dunque le due espressioni rappresentano lo stesso autospazio). spero di essere stata chiara. ciao.

[BoG3]

ehm il mio "dovrebbe essere" era un ... sai come i studenti danno risultati sbaglaiti senza ragionare ognitanto e e come in questo caso, sbagliano una cosa facile. in ogni caso si ho capito, è come pensavo grazie

[adaBTTLS1]

prego.