Domanda sugli spazi vettoriali

[Sk_Anonymous]

Salve, stavo studiando gli spazi vettoriali e non riesco a capire questa proposizione:

"Un insieme B di vettori è un insieme indipendente di vettori se e solo se nessun vettore v che appartiene a B è combinazione lineare degli altri vettori di B."

Non mi è chiaro, qualcuno può spiegarmela?

Grazie e ciao

[Gi81]

Sia $B={v_1,v_2,...,v_n}$ un insieme di vettori linearmente indipendenti.
Cosa vuol dire, per definizione, questa cosa?

[Sk_Anonymous]

"Gi8":Sia $B={v_1,v_2,...,v_n}$ un insieme di vettori linearmente indipendenti.
Cosa vuol dire, per definizione, questa cosa?

Vuol dire che una loro combinazione lineare è uguale al vettore nullo se e soltanto se i coefficienti della combinazione lineare sono TUTTI nulli.

[Gi81]

Esattamente.
Se uno di loro, chiamiamolo $v_i$, fosse combinazione lineare degli altri, significa che
$EE lambda_1,lambda_2,...,lambda_(i-1),lambda_(i+1),...lambda_n in K$ non tutti nulli tali che


$v_i=lambda_1v_1+lambda_2v_2+...+lambda_(i-1)v_(i-1)+lambda_(i+1)v_(i+1)+...+lambda_nv_n$

Dunque $lambda_1v_1+lambda_2v_2+...+lambda_(i-1)v_(i-1)+(-1)v_i +lambda_(i+1)v_(i+1)+...+lambda_nv_n=ul0

[Sk_Anonymous]

"Gi8":Esattamente.
Se uno di loro, chiamiamolo $v_i$, fosse combinazione lineare degli altri, significa che
$EE lambda_1,lambda_2,...,lambda_(i-1),lambda_(i+1),...lambda_n in K$ non tutti nulli tali che


$v_i=lambda_1v_1+lambda_2v_2+...+lambda_(i-1)v_(i-1)+lambda_(i+1)v_(i+1)+...+lambda_nv_n$

Dunque $lambda_1v_1+lambda_2v_2+...+lambda_(i-1)v_(i-1)+(-1)v_i +lambda_(i+1)v_(i+1)+...+lambda_nv_n=ul0

Ok, quindi il fatto che nell'ultima relazione che hai scritto compaia un coefficiente non nullo, cioè $-1$ fa si che quei vettori non siano linearmente indipendenti, giusto?

[Gi81]

Esatto. Da cui l'assurdo

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie mille, tutto chiaro:)