Domanda sugli autovettori e autovalori
Ciao, stavo studiando la teoria sugli autovalori e gli autovettori e non capisco questa affermazione:
"Essendo la matrice associata all'applicazione lineare del tipo $A-lI_n$, dove con $l$ ho indicato l'autovalore e con $I_n$ la matrice identica, il valore $l$ è un autovalore dell'applicazione lineare se e solo se il determinante della matrice $A-lI_n$ vale 0". Qualcuno sa aiutarmi? Grazie.
"Essendo la matrice associata all'applicazione lineare del tipo $A-lI_n$, dove con $l$ ho indicato l'autovalore e con $I_n$ la matrice identica, il valore $l$ è un autovalore dell'applicazione lineare se e solo se il determinante della matrice $A-lI_n$ vale 0". Qualcuno sa aiutarmi? Grazie.
Risposte
Stiamo facendo la stessa discussione con jrave. Il titolo è condizioni per essere autovalore.
Per definizione $l$ è autovalore di $A$ se esistono vettori $v$ tali che $Av = lv$, ovvero $(A - lI)v = 0$. Questo è equivalente ad affermare che l'applicazione lineare $B=A -lI$ ha nucleo non banale.
Ricordando che in generale il sistema lineare $Bx = 0$ (con $B$ matrice dei coefficienti, $x$ vettore delle incognite e $0$ vettore nullo) ha soluzioni non banali se e solo se $B$ ha determinante 0, segue l'equivalenza che dici tu.
Ricordando che in generale il sistema lineare $Bx = 0$ (con $B$ matrice dei coefficienti, $x$ vettore delle incognite e $0$ vettore nullo) ha soluzioni non banali se e solo se $B$ ha determinante 0, segue l'equivalenza che dici tu.
"claudiamatica":
Per definizione $l$ è autovalore di $A$ se esistono vettori $v$ tali che $Av = lv$, ovvero $(A - lI)v = 0$. Questo è equivalente ad affermare che l'applicazione lineare $B=A -lI$ ha nucleo non banale.
Ricordando che in generale il sistema lineare $Bx = 0$ (con $B$ matrice dei coefficienti, $x$ vettore delle incognite e $0$ vettore nullo) ha soluzioni non banali se e solo se $B$ ha determinante 0, segue l'equivalenza che dici tu.
Allora, mi è tutto chiaro, però mi sfugge ancora una cosa: perchè se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo ha determinante non nullo, la soluzione è il vettore nullo mentre se è nullo il sistema ammette infinite soluzioni? Grazie
Per queste cose dovresti ripassare un po' di algebra lineare.
Provo a dirtela in soldoni. Intanto ricordati che avere determinante non nullo è equivalente ad avere le righe/colonne linearmente indipendenti.
Diciamo che $B$ è la matrice che ha per colonne i vettori $b_1,...,b_n$, e che vogliamo risolvere il sistema omogeneo $Bx=0$, dove 0 è il vettore nullo.
x è il vettore delle incognite: $(x_1,...,x_n)$.
Ora.. risolvere questo sistema lineare omogeneo significa (se fai i conti lo vedi) cercare gli scalari $x_1,...,x_n$ tali che:
$x_1\dot b_1 + ...+x_n\dot b_n = 0$.
Ovvero si tratta di stabilire per quali coefficienti questa combinazione lineare di vettori è nulla.
Se la matrice $B$ è invertibile sai che le colonne sono lin. indip. e quindi l'unica soluzione possibile al sistema è quella nulla.
Viceversa, se $B$ non è invertibile allora esisterà soluzione non banale, perchè i vettori $b_j$ sono lin. dipendenti.
Provo a dirtela in soldoni. Intanto ricordati che avere determinante non nullo è equivalente ad avere le righe/colonne linearmente indipendenti.
Diciamo che $B$ è la matrice che ha per colonne i vettori $b_1,...,b_n$, e che vogliamo risolvere il sistema omogeneo $Bx=0$, dove 0 è il vettore nullo.
x è il vettore delle incognite: $(x_1,...,x_n)$.
Ora.. risolvere questo sistema lineare omogeneo significa (se fai i conti lo vedi) cercare gli scalari $x_1,...,x_n$ tali che:
$x_1\dot b_1 + ...+x_n\dot b_n = 0$.
Ovvero si tratta di stabilire per quali coefficienti questa combinazione lineare di vettori è nulla.
Se la matrice $B$ è invertibile sai che le colonne sono lin. indip. e quindi l'unica soluzione possibile al sistema è quella nulla.
Viceversa, se $B$ non è invertibile allora esisterà soluzione non banale, perchè i vettori $b_j$ sono lin. dipendenti.
Allora, non mi è ben chiara una cosa. Ho fatto un pò di esercizi sui sistemi lineari sul mio libro delle superiori, non avendoli mai studiati. Ci sono vari metodi per risolvere un sistema lineare, quello della matrice inversa e quello di Cramer, che funzionano soltanto se la matrice dei coefficienti del sistema ha determinante non nullo (altrimenti essa non è invertibile - conseguenza del teorema di Binet), poi c'è il metodo di riduzione di Gauss ecc.
Quello che non ho capito è: perchè, una volta determinato il rango della matrice dei coefficienti di un sistema lineare, è equivalente al sistema originario il sistema che ha per righe quelle corrispondenti alle righe del minore che mi ha permesso di valutare il rango e per colonne le colonne di tale minore?
Da tale affermazione scaturiscono tutte le principali conseguenze sui sistemi lineari, e cioè, per esempio, se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo ha determinante nullo, questo vuol dire che il suo rango sarà sicuramente minore del numero delle incognite del sistema e quindi il sistema avrà infinite soluzioni per la presenza di parametri liberi...ecc..
Grazie per l'aiuto.
Quello che non ho capito è: perchè, una volta determinato il rango della matrice dei coefficienti di un sistema lineare, è equivalente al sistema originario il sistema che ha per righe quelle corrispondenti alle righe del minore che mi ha permesso di valutare il rango e per colonne le colonne di tale minore?
Da tale affermazione scaturiscono tutte le principali conseguenze sui sistemi lineari, e cioè, per esempio, se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo ha determinante nullo, questo vuol dire che il suo rango sarà sicuramente minore del numero delle incognite del sistema e quindi il sistema avrà infinite soluzioni per la presenza di parametri liberi...ecc..
Grazie per l'aiuto.
Il sistema costituito dalle righe [...] come dici tu, è in sostanza il sistema composto dalle equazioni indipendenti. Quelle in più non danno informazioni aggiuntive.
Esempio:
le equazioni $x + y = 1$ e $2x + 2y = 2$ sono equivalenti. Pertanto in un sistema lineare dove compaiono entrambe, soltanto una delle due è "utile" ai fini della risoluzione.
Altro esempio: abbiamo un sistema formato da $x + y + z = 3$, $2x + 2y + z = -1$ e $3x + 3y + 2z = 2$. Poichè l'ultima equazione si ottiene come somma delle prime due, è "inutile" nel sistema, nel senso che il sistema dato è semplicemente equivalente a quello dato dalle prime 2 (o dalla prima e la terza, o la seconda e la terza).
Chiedo scusa per la fretta, ma in questo momento sono un po' di corsa. Ti è chiaro l'esempio?
Esempio:
le equazioni $x + y = 1$ e $2x + 2y = 2$ sono equivalenti. Pertanto in un sistema lineare dove compaiono entrambe, soltanto una delle due è "utile" ai fini della risoluzione.
Altro esempio: abbiamo un sistema formato da $x + y + z = 3$, $2x + 2y + z = -1$ e $3x + 3y + 2z = 2$. Poichè l'ultima equazione si ottiene come somma delle prime due, è "inutile" nel sistema, nel senso che il sistema dato è semplicemente equivalente a quello dato dalle prime 2 (o dalla prima e la terza, o la seconda e la terza).
Chiedo scusa per la fretta, ma in questo momento sono un po' di corsa. Ti è chiaro l'esempio?
Quindi se una certa matrice ha rango 3, vuol dire che tutte le righe e le colonne corrispondenti al minore che mi hanno permesso di valutarne il rango sono INDIPENDENTI, altrimenti il minore non sarebbe stato tale, in quando il suo determinante sarebbe stato nullo, giusto?
"lisdap":
Quindi se una certa matrice ha rango 3, vuol dire che tutte le righe e le colonne corrispondenti al minore che mi hanno permesso di valutarne il rango sono INDIPENDENTI, altrimenti il minore non sarebbe stato tale, in quando il suo determinante sarebbe stato nullo, giusto?
Scusa lisdap ma questa è proprio la definizione di rango!
Quello che penso ti abbia mandato in confusione (correggimi se sbaglio) è il fatto che spesso venga data, come definizione di rango, quello che in realtà è un procedimento per la sua determinazione. Provo a spiegarmi meglio. Il rango di una matrice è definito come il numero massimo di righe (o equivalentemente colonne) indipendenti. In conseguenza di ciò (per tutte le cose dette finora) si ha che è il massimo ordine dei minori non nulli che si possono estrarre da A.
Si, ora mi è tutto chiaro...il fatto è che io non ho mai studiato algebra lineare e prima di fare l'università non sapevo cos'era un vettore o una matrice, quindi ogni tanto mi blocco...non so se mi spiego:)
sisi ti spieghi benissimo, è quello che è successo a tutti al primo anno! Tranquillo, man mano le cose cambieranno!
Ciao, allora, vorrei che qualcuno mi chiarisse questo dubbio.
Sto facendo un esercizio sugli spazi vettoriali e, se $k=0$ la matrice dei 4 vettori (P.S=la matrice è stata ridotta a gradini e la prima colonna corrisponde al vettore v3, mentre la terza al vettore v1) $v1=(3,7,k+1,2k+2)$, $v2=(2,2k+2,0,0)$, $v3=(1,1,0,0)$, $v4=(-3,-7,-1,2k)$, mi diventa:
A= $ ( ( 1 , 2 , 3 , -3 ),( 0 , 0 , 4 , -4 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Ora, devo calcolare, nel caso appunto in cui $K=0$, la dimensione e la base dello spazio generato dai 4 vettori;
Per farlo, calcolo il rango di tale matrice, ed esso mi viene uguale a 3, quindi la dimensione di V è 3. Ora quello che non ho capito bene è come faccio a sapere quali dei tre vettori fra i quattro assegnati sono una base di V. Grazie mille.
Per esempio, per valutare il rango di tale matrice ho considerato il minore invertibile ottenuto cancellando la prima riga e la prima colonna. Questo vuol dire che i vettori corrispondenti alle colonne del mio minore, cioè i vettori v2,v1,v4, dovrebbero essere indipendenti e quindi costituire una base di V, mentre il libro mi dice che una base è v1,v3,v4...
Per esempio, ancora un altro esercizio. Siano v1 v2 v3 generatori dello spazio W. Determinare le basi di W.
Io scrivo la matrice associata ai 3 vettori ed, essendo il rango uguale a 2, questo vuol dire che solo due vettori costituiscono una base di W e dunque dimV=2. Ma come faccio a sapere quali fra i 3 vettori sono una base?
Sto facendo un esercizio sugli spazi vettoriali e, se $k=0$ la matrice dei 4 vettori (P.S=la matrice è stata ridotta a gradini e la prima colonna corrisponde al vettore v3, mentre la terza al vettore v1) $v1=(3,7,k+1,2k+2)$, $v2=(2,2k+2,0,0)$, $v3=(1,1,0,0)$, $v4=(-3,-7,-1,2k)$, mi diventa:
A= $ ( ( 1 , 2 , 3 , -3 ),( 0 , 0 , 4 , -4 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Ora, devo calcolare, nel caso appunto in cui $K=0$, la dimensione e la base dello spazio generato dai 4 vettori;
Per farlo, calcolo il rango di tale matrice, ed esso mi viene uguale a 3, quindi la dimensione di V è 3. Ora quello che non ho capito bene è come faccio a sapere quali dei tre vettori fra i quattro assegnati sono una base di V. Grazie mille.
Per esempio, per valutare il rango di tale matrice ho considerato il minore invertibile ottenuto cancellando la prima riga e la prima colonna. Questo vuol dire che i vettori corrispondenti alle colonne del mio minore, cioè i vettori v2,v1,v4, dovrebbero essere indipendenti e quindi costituire una base di V, mentre il libro mi dice che una base è v1,v3,v4...
Per esempio, ancora un altro esercizio. Siano v1 v2 v3 generatori dello spazio W. Determinare le basi di W.
Io scrivo la matrice associata ai 3 vettori ed, essendo il rango uguale a 2, questo vuol dire che solo due vettori costituiscono una base di W e dunque dimV=2. Ma come faccio a sapere quali fra i 3 vettori sono una base?
Hai detto che i vari vettori sono stati messi nelle rispettive colonne, tranne $v1$ e $v3$ scambiati. Se il minore non nullo lo hai trovato considerando le colonne 1,3,4 (e le righe 2,3,4) allora i vettori che ti generano lo spazio sono $v3, v1, v4$. Anche il minore ottenuto considerando le colonne 2,3,4 (stesse righe) è non nullo, e anche $v2, v1, v4$ è una scelta possibile come base del sottospazio.
"claudiamatica":
Hai detto che i vari vettori sono stati messi nelle rispettive colonne, tranne $v1$ e $v3$ scambiati. Se il minore non nullo lo hai trovato considerando le colonne 1,3,4 (e le righe 2,3,4) allora i vettori che ti generano lo spazio sono $v3, v1, v4$. Anche il minore ottenuto considerando le colonne 2,3,4 (stesse righe) è non nullo, e anche $v2, v1, v4$ è una scelta possibile come base del sottospazio.
Quindi, quando devo trovare una base di uno spazio vettoriale generato da un certo numero di vettori, scrivo la matrice associata a tali vettori e ne valuto il rango; quest'ultimo mi dice la dimensione dello spazio e quindi il numero di vettori che costituiscono la base. Per sapere poi quali sono i vettori che mi hanno generato la base, vedo a quali vettori corrispondono le colonne del minore, giusto? A che mi serve guardare anche le righe? Grazie
Ho i vettori $v_1=(k,1,1,2)$, $v2=(0,1,0,1)$, $v3=(k,0,1,1)$.
Al variare di $k$, devo trovare una base di V.
La matrice associata ai vettori (è già ridotta) è:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $
Ora, osservo che il rango di tale matrice non sarà 3, ma due.
Infatti, se considero il minore $ ((1,0),(0,1)) $ esso ha determinante non nullo;
se considero l'altro minore, cioè $ ((0,1),(1,-1)) $, anche questo ha determinante non nullo.
Quindi, la dimensione dello spazio è 2, e, se considero il primo minore, cioè quello le cui colonne sono formate parzialmente dai vettori v1 e v2, deduco che una base è costituita da v1 e v2; se considero l'altro minore, ho un'altra base v2 e v3. E' giusto?
Al variare di $k$, devo trovare una base di V.
La matrice associata ai vettori (è già ridotta) è:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $
Ora, osservo che il rango di tale matrice non sarà 3, ma due.
Infatti, se considero il minore $ ((1,0),(0,1)) $ esso ha determinante non nullo;
se considero l'altro minore, cioè $ ((0,1),(1,-1)) $, anche questo ha determinante non nullo.
Quindi, la dimensione dello spazio è 2, e, se considero il primo minore, cioè quello le cui colonne sono formate parzialmente dai vettori v1 e v2, deduco che una base è costituita da v1 e v2; se considero l'altro minore, ho un'altra base v2 e v3. E' giusto?
Si, è giusto. Le basi possibili di uno sp. vettoriale sono infinite, naturalmente, e fissato un sistema finito ${v_1,...,v_m}$ di vettori questi generano un sottospazio. Da questo sistema di generatori puoi tirare fuori un numero finito di basi, e lo puoi fare proprio usando il sistema che usi tu, cioè guardando il rango della matrice data dai vettori. Se i vettori decidi di metterli per colonna allora è chiaro che vai a guardare le colonne, se li metti per riga ti guardi le righe.
Esempio (mi sembra che tu abbia capito bene, lo metto giusto per chiarezza):
Tu hai quattro vettori, in $RR^4$. Consideri la matrice che ha per colonne questi vettori. Se tu vedi che il minore $M_{{12},{23}}$ (quindi formato dalle prime due righe e dalle colonne 2,3) è diverso da 0, e che i minori di ordine 3 sono tutti nulli, allora tu sai che sono lin. indip. le colonne 2,3 e le righe 2,1. Quindi sai per certo che una base dello spazio vettoriale che questi vettori generano è data dai vettori 2 e 3. Non puoi ragionare sulle righe, perchè i vettori li hai messi per colonna. Nel senso che non puoi prendere le colonne 1 e 2 come base, perchè queste potrebbero essere lin. dipendenti. Nè puoi prendere le righe 1,2 come base del tuo spazio generato da quei vettori, perchè non c'entrano niente. Nel senso che i vettori riga genereranno tutt'altro spazio.
Puoi convincertene prendendo, per esempio:
$W = <(1,1,0,0), (1,1,0,0), (2,1,1,1), (4,3,1,1)>$. Se li metti per colonna in una matrice, vedi come $M_{{12}{23}}$ è diverso da 0 (e gli orlati di ordine 3 sono nulli), quindi il rango è 2.
Piccola nota, forse superflua: per trovare il rango di una matrice non è necessario mettersi a ridurla.
Esempio (mi sembra che tu abbia capito bene, lo metto giusto per chiarezza):
Tu hai quattro vettori, in $RR^4$. Consideri la matrice che ha per colonne questi vettori. Se tu vedi che il minore $M_{{12},{23}}$ (quindi formato dalle prime due righe e dalle colonne 2,3) è diverso da 0, e che i minori di ordine 3 sono tutti nulli, allora tu sai che sono lin. indip. le colonne 2,3 e le righe 2,1. Quindi sai per certo che una base dello spazio vettoriale che questi vettori generano è data dai vettori 2 e 3. Non puoi ragionare sulle righe, perchè i vettori li hai messi per colonna. Nel senso che non puoi prendere le colonne 1 e 2 come base, perchè queste potrebbero essere lin. dipendenti. Nè puoi prendere le righe 1,2 come base del tuo spazio generato da quei vettori, perchè non c'entrano niente. Nel senso che i vettori riga genereranno tutt'altro spazio.
Puoi convincertene prendendo, per esempio:
$W = <(1,1,0,0), (1,1,0,0), (2,1,1,1), (4,3,1,1)>$. Se li metti per colonna in una matrice, vedi come $M_{{12}{23}}$ è diverso da 0 (e gli orlati di ordine 3 sono nulli), quindi il rango è 2.
Piccola nota, forse superflua: per trovare il rango di una matrice non è necessario mettersi a ridurla.
Ok, solo un'ultima cosa. Abbiamo detto che i vettori indipendenti sono quelli corrispondenti alle colonne del minore invertibile. Tali colonne, però, non "costituiscono" l'intero vettore, nel senso che può capitare che il vettore ha un certo numero di coordinate mentre la colonna del minore ha un numero di elementi, di righe inferiore a quello del vettore. Cioè, se due vettori hanno componenti $v1=(1,2,3,4,5)$ e $v2=(4,6,8,7,1)$ (sparata a caso:)) e il minore invertibile che considero è $((1,2), (4,6))$, sulla base di quanto detto prima i due vettori sono indipendenti, perchè lo sono le colonne del minore. Però, il minore ha solo 2 righe, mentre i miei vettori ne hanno 5. Spero sia chiaro quello che voglio dire, ciao.
Non ha importanza. Sono indipendenti i vettori corrispondendi a quelle colonne.
Ragiona su una cosa, se questo non ti convince perchè l'informazione su due "posizioni" ti sembra poco su vettori a 5 componenti.
Tu hai trovato questo minore di ordine 2, diverso da 0. Questo vuol dire che i due "pezzettini" di dimensione 2 dei tuoi due vettori sono linearmente indipendenti, ovvero non proporzionali. Se prendi i vettori tutti interi, è chiaro che non possono essere proporzionali, perchè altrimenti erano proporzionali pure i pezzettini da 2. Discorso poco elegante, ma spero ti convinca.
Ragiona su una cosa, se questo non ti convince perchè l'informazione su due "posizioni" ti sembra poco su vettori a 5 componenti.
Tu hai trovato questo minore di ordine 2, diverso da 0. Questo vuol dire che i due "pezzettini" di dimensione 2 dei tuoi due vettori sono linearmente indipendenti, ovvero non proporzionali. Se prendi i vettori tutti interi, è chiaro che non possono essere proporzionali, perchè altrimenti erano proporzionali pure i pezzettini da 2. Discorso poco elegante, ma spero ti convinca.
"claudiamatica":
Non ha importanza. Sono indipendenti i vettori corrispondendi a quelle colonne.
Ragiona su una cosa, se questo non ti convince perchè l'informazione su due "posizioni" ti sembra poco su vettori a 5 componenti.
Tu hai trovato questo minore di ordine 2, diverso da 0. Questo vuol dire che i due "pezzettini" di dimensione 2 dei tuoi due vettori sono linearmente indipendenti, ovvero non proporzionali. Se prendi i vettori tutti interi, è chiaro che non possono essere proporzionali, perchè altrimenti erano proporzionali pure i pezzettini da 2. Discorso poco elegante, ma spero ti convinca.
Ok, grazie mille, per chiarire ogni dubbio sui sistemi lineari, vi chiedo di questo esercizio:
Devo risolvere questo sistema omogeneo di due equazioni in quattro incognite, $ { ( x+y+0z-0w=0 ),( 2x+0y-z+0w=0 ) } $.
La matrice associata è:
$A=((1,1,0,0),(2,0,-1,0))$. Se considero il minore $((1,1),(2,0))$, il sistema dato è equivalente al sistema $ { (x+y=0),(2x=z) } $, con $z$ ed $w$ parametri liberi.
Se considero il minore $((1,0),(0,-1))$, il sistema diventa: $ { (y=-x),(x=2x) } $, dove questa volta i parametri liberi sono $x$ e $w$. E' giusto fare in entrambi i modi? Grazie, e scusa per le mie domande banali:)
Una volta che hai stabilito il rango del sistema non fa nessuna differenza scegliere quali variabili usare come parametri libere e quali ricavare in funzione di questi.
Esempio:
soluzioni espresse nella forma $(t,t+1,1-s, s)$ sono esattamente le stesse se espresse nella forma $(a-1,a,b,1-b)$.
Esempio:
soluzioni espresse nella forma $(t,t+1,1-s, s)$ sono esattamente le stesse se espresse nella forma $(a-1,a,b,1-b)$.
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