Domanda su prodotto scalare
ragazzi qualcuno potrà sicuramente aiutarmi: assumiamo che il prodotto scalare è quella funzione da $RR^n * RR^n to RR$ su $R^n$ data da $ = v_1 w_1+...+v_n w_n=w^Tv$
sul libro mi porta un esempio di prodotto scalare definito positivo cioè l'applicazione
$<.,.>:RR^3*RR^3toRR$ data da $=2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3$
ma che significa che questo è un prodotto scalare? il prodotto scalare non è quello che ho scritto sopra? vi prego di farmi capire questa cosa
poi avrei altre domande:
1. che significa prodotto scalare di matrici o di funzioni?
2il prodotto scalare su R^2 è positivo?;
grazie a chi avrà avuto la bontà di rispondermi
sul libro mi porta un esempio di prodotto scalare definito positivo cioè l'applicazione
$<.,.>:RR^3*RR^3toRR$ data da $
ma che significa che questo è un prodotto scalare? il prodotto scalare non è quello che ho scritto sopra? vi prego di farmi capire questa cosa
poi avrei altre domande:
1. che significa prodotto scalare di matrici o di funzioni?
2il prodotto scalare su R^2 è positivo?;
grazie a chi avrà avuto la bontà di rispondermi
Risposte
Il prodotto scalare ha una definizione più generale (e su un qualunque spazio vettoriale, non solo $\mathbb{R}^n$.
Puoi vederla qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare.
Quello "classico" dato da $v\cdot w = \sum_{i=1}^n v_i w_i$ è solo un esempio di prodotto scalare su $\mathbb{R}^n$.
Riguardo alle altre tue domande:
1. Come ho anticipato, il prodotto scalare si definisce su uno spazio vettoriale qualunque. Le matrici $n\times m$ su un qualunque campo $\mathbb{K}$ formano uno spazio vettoriale. Idem alcuni spazio di funzioni (es. $C([0,1],\mathbb{R})$, funzioni continue a valori reali definite su $[0,1]$).
2. Per definizione, un prodotto scalare $\cdot$ è definito positivo se $x\cdot x=0$ implica necessariamente $x=0$. Nel caso del prodotto scalare classico su $\mathbb{R}^n$ definito sopra, questo è vero. Dunque la risposta è sì e vale non solo per $\mathbb{R}^2$.
Paola
Puoi vederla qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare.
Quello "classico" dato da $v\cdot w = \sum_{i=1}^n v_i w_i$ è solo un esempio di prodotto scalare su $\mathbb{R}^n$.
Riguardo alle altre tue domande:
1. Come ho anticipato, il prodotto scalare si definisce su uno spazio vettoriale qualunque. Le matrici $n\times m$ su un qualunque campo $\mathbb{K}$ formano uno spazio vettoriale. Idem alcuni spazio di funzioni (es. $C([0,1],\mathbb{R})$, funzioni continue a valori reali definite su $[0,1]$).
2. Per definizione, un prodotto scalare $\cdot$ è definito positivo se $x\cdot x=0$ implica necessariamente $x=0$. Nel caso del prodotto scalare classico su $\mathbb{R}^n$ definito sopra, questo è vero. Dunque la risposta è sì e vale non solo per $\mathbb{R}^2$.
Paola
grazie per la risposta
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