Domanda su matrice ridotta a scalini
Salve a tutti,
avrei una domanda sulle matrici di carattere teorico, ovvero:
Se io ho una matrice, ipotizziamo 9x10, e riesco a ridurla a scalini senza nessuna riga con tutti zeri,
allora sono sicuro che il rango della matrice è 9...
Ora, esiste un teorema X questa cosa? Cioè ho cercato ma nn trovo un riferimento..
Grazie a tutti
avrei una domanda sulle matrici di carattere teorico, ovvero:
Se io ho una matrice, ipotizziamo 9x10, e riesco a ridurla a scalini senza nessuna riga con tutti zeri,
allora sono sicuro che il rango della matrice è 9...
Ora, esiste un teorema X questa cosa? Cioè ho cercato ma nn trovo un riferimento..
Grazie a tutti
Risposte
Il rango coincide con il numero di pivot della matrice ridotta, quindi è normale che nel tuo caso sia nove.
Premesso che cercherò cosa sia il pivot, volevo sapere se esiste un teorema...
In una matrice ridotta a scala un pivot è il primo elemento non nullo di una riga. È vero che il rango coincide con il numero di pivot della matrice ridotta.
Stringatamente, il rango di una matrice è definito come il numero massimo di colonne linearmente indipendenti della matrice. Allora il rango coincide con il numero massimo di righe linearmente indipendenti di una matrice, ma la dimostrazione non è velocissima e non te la riporto. Le operazioni elementari sulle righe preservano lo spazio delle righe, quindi una matrice ridotta a scalini ha lo stesso numero di righe linearmente indipendenti della matrice di partenza. Nota che, in un matrice ridotta ha scalini, una riga che non ha un pivot è nulla, e hai la tesi tenendo conto del fatto banale che nessun insieme di vettori contenenti lo zero è linearmente indipendente.
Stringatamente, il rango di una matrice è definito come il numero massimo di colonne linearmente indipendenti della matrice. Allora il rango coincide con il numero massimo di righe linearmente indipendenti di una matrice, ma la dimostrazione non è velocissima e non te la riporto. Le operazioni elementari sulle righe preservano lo spazio delle righe, quindi una matrice ridotta a scalini ha lo stesso numero di righe linearmente indipendenti della matrice di partenza. Nota che, in un matrice ridotta ha scalini, una riga che non ha un pivot è nulla, e hai la tesi tenendo conto del fatto banale che nessun insieme di vettori contenenti lo zero è linearmente indipendente.
Capito grazie marco e anche grazie al mio guru personale axpgn 
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